PROFILPELAJAR.COM

В математике и физике, уравнение Кадомцева — Петвиашвили (часто сокращённо называемое уравнением КП) — это дифференциальное уравнение в частных производных для описания нелинейного волнового движения. Названное в честь Бориса Борисовича Кадомцева и Владимира Иосифовича Петвиашвили уравнение КП обычно записывается как:

\displaystyle \partial _{x}(\partial _{t}u+u\partial _{x}u+\epsilon ^{2}\partial _{xxx}u)+\lambda \partial _{yy}u=0

где $\lambda =\pm 1$ . Приведённая выше форма показывает, что уравнение КП является обобщением на два пространственных измерения, x и y, одномерного уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ). Чтобы иметь физический смысл, направление распространения волны должно быть не слишком далеко от направления x, то есть с медленными изменениями значений в направлении y.

Как и уравнение КдФ, уравнение КП полностью интегрируемо^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]. Оно также может быть решено с помощью обратного преобразования рассеяния^[англ.], как и нелинейное уравнение Шрёдингера^[6].

История

Уравнение КП было впервые написано в 1970 году советскими физиками Борисом Кадомцевым (1928—1998) и Владимиром Петвиашвили (1936—1993); оно появилось как естественное обобщение уравнения КдФ (выведенного Кортевегом и де Фризом в 1895 году). Если в уравнении КдФ волны строго одномерны, то в уравнении КП это ограничение ослаблено. Тем не менее, и в уравнении КдФ, и в уравнении КП волны должны двигаться в положительном направлении x.

Связь с физикой

Уравнение КП может быть использовано для моделирования волн большой длины со слабо нелинейными восстанавливающими силами и частотной дисперсией. Если поверхностное натяжение слабо по сравнению с гравитационными силами, используется $\lambda =+1$ ; если же поверхностное натяжение сильное, то $\lambda =-1$ . Из-за асимметрии в том, как x- и y-переменные входят в уравнение, волны, описываемые уравнением КП, ведут себя по-разному в направлении распространения (x) и поперечном (y) направлении; колебания в y-направлении имеют тенденцию быть более гладкими (иметь малые отклонения).

Уравнение КП может также использоваться для моделирования волн в ферромагнитных средах^[7], а также двумерных волновых импульсов в конденсатах Бозе-Эйнштейна.

Ограниченность

Для $\epsilon \ll 1$ , типичные осцилляции, зависящие от x, имеют длину волны $O(1/\epsilon )$ , что даёт сингулярный предельный режим в виде $\epsilon \rightarrow 0$ . Предел $\epsilon \rightarrow 0$ называется бездисперсионным^[англ.] пределом.^[8]^[9]^[10]

Если мы также предположим, что решения не зависят от y при $\epsilon \rightarrow 0$ , то они будут удовлетворять невязкому уравнению Бюргерса:

\displaystyle \partial _{t}u+u\partial _{x}u=0.

Предположим, что амплитуда колебаний решения асимптотически мала — $O(\epsilon )$ — в бездисперсионном пределе. Тогда амплитуда удовлетворяет уравнению среднего поля типа Дейви-Стюартсона^[англ.].

См. также

Примечания

↑ Абдул-Маджид Вазваз. Multiple-soliton solutions for the KP equation by Hirota’s bilinear method and by the tanh–coth method (англ.) // Applied Mathematics and Computation. — 2007-07. — Vol. 190, iss. 1. — P. 633–640. — doi:10.1016/j.amc.2007.01.056. Архивировано 15 мая 2023 года.
↑ И Ченг, И-шен Ли. The constraint of the Kadomtsev-Petviashvili equation and its special solutions (англ.) // Physics Letters A. — 1991-07. — Vol. 157, iss. 1. — P. 22–26. — doi:10.1016/0375-9601(91)90403-U. Архивировано 1 апреля 2022 года.
↑ Вэнь-Сюй Ма. Lump solutions to the Kadomtsev–Petviashvili equation (англ.) // Physics Letters A. — 2015-09. — Vol. 379, iss. 36. — P. 1975–1978. — doi:10.1016/j.physleta.2015.06.061. Архивировано 17 октября 2022 года.
↑ Юдзи Кодама. Young diagrams and N -soliton solutions of the KP equation // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 2004-11-19. — Т. 37, вып. 46. — С. 11169–11190. — ISSN 1361-6447 0305-4470, 1361-6447. — doi:10.1088/0305-4470/37/46/006.
↑ Шу-фанг Дэн, Дэн-юань Чэнь, Да-цзюнь Чжан. The Multisoliton Solutions of the KP Equation with Self-consistent Sources (англ.) // Journal of the Physical Society of Japan. — 2003-09-15. — Vol. 72, iss. 9. — P. 2184–2192. — ISSN 1347-4073 0031-9015, 1347-4073. — doi:10.1143/JPSJ.72.2184. Архивировано 22 октября 2022 года.
↑ Марк Дж. Абловиц, Харви Сегур. Solitons and the Inverse Scattering Transform (англ.). — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1981-01. — ISBN 978-0-89871-174-5, 978-1-61197-088-3.
↑ Херв Леблонд. KP lumps in ferromagnets: a three-dimensional KdV Burgers model (англ.) // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 2002-11-29. — Vol. 35, iss. 47. — P. 10149–10161. — ISSN 0305-4470. — doi:10.1088/0305-4470/35/47/313. Архивировано 20 октября 2022 года.
↑ Захаров, В. Е. Бесдисперсионный предел интегрируемых систем в 2+1 измерениях // Сингулярные пределы дисперсионных волн. — Бостон : Springer, 1994. — P. 165–174. — ISBN 0-306-44628-6.
↑ Страчан, И. А. (1995). "The Moyal bracket and the dispersionless limit of the KP hierarchy". Journal of Physics A: Mathematical and General (англ.). 28 (7): 1967. arXiv:hep-th/9410048. doi:10.1088/0305-4470/28/7/018.
↑ Такасаки, К.; Такебе, Т. (29.06.1994). "Integrable hierarchies and dispersionless limit". Reviews in Mathematical Physics. 7 (5): 743–808. arXiv:hep-th/9405096. doi:10.1142/S0129055X9500030X. {{cite journal}}: Проверьте значение даты: |date= (справка)Википедия:Обслуживание CS1 (дата и год) (ссылка)

Литература

Кадомцев, Б. Б.; Петвиашвили, В. И. (09.02.1970). "Об устойчивости уединённых волн в слабо диспергирующих средах". Докл. АН СССР. 15: 539–541. Bibcode:1970SPhD...15..539K. {{cite journal}}: Проверьте значение даты: |date= (справка)Википедия:Обслуживание CS1 (дата и год) (ссылка). Translation of "Об устойчивости уединённых волн в слабо диспергирующих средах". Докл. АН СССР. 192: 753–756. 09.02.1970. {{cite journal}}: Проверьте значение даты: |date= (справка)
Кодама, Ю. KP Solitons and the Grassmannians: combinatorics and geometry of two-dimensional wave patterns : [англ.]. — Springer, 2017. — ISBN 978-981-10-4093-1.
Лу, С.-Ю.; Ху, С.-Б. (21.03.1997). "Infinitely many Lax pairs and symmetry constraints of the KP equation". Journal of Mathematical Physics (англ.). 38 (12): 6401–6427. doi:10.1063/1.532219. {{cite journal}}: Проверьте значение даты: |date= (справка)Википедия:Обслуживание CS1 (дата и год) (ссылка)
Минцони, А. А.; Смит, Н. Ф. (Ноябрь1996). "Evolution of lump solutions for the KP equation". Wave Motion (англ.). 24 (3): 291–305. doi:10.1016/S0165-2125(96)00023-6. {{cite journal}}: Проверьте значение даты: |date= (справка)Википедия:Обслуживание CS1 (дата и год) (ссылка)
Накамура, А. (12.09.1988). "A bilinear N-soliton formula for the KP equation". Journal of the Physical Society of Japan (англ.). 58 (2): 412–422. doi:10.1143/JPSJ.58.412. {{cite journal}}: Проверьте значение даты: |date= and |year= / |date= mismatch (справка)
Превиато, Эмма (2001), "KP-equation", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Сяо, Т.; Цзэн, Ю. (30.06.2004). "Generalized Darboux transformations for the KP equation with self-consistent sources". Journal of Physics A: Mathematical and General (англ.). 37 (28): 7143. arXiv:nlin/0412070. doi:10.1088/0305-4470/37/28/006. {{cite journal}}: Проверьте значение даты: |date= (справка)Википедия:Обслуживание CS1 (дата и год) (ссылка)

Ссылки

Weisstein, Eric W. Kadomtsev–Petviashvili equation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Джони Биондини и Дмитрий Пелиновский. Kadomtsev–Petviashvili equation (англ.). Scholarpedia.
Бернар Деконинк. The KP page (англ.). University of Washington, Department of Applied Mathematics. Дата обращения: 20 октября 2022. Архивировано из оригинала 6 февраля 2006 года.