Уравнение, приводящее к однородному — дифференциальное уравнение первого порядка, которое заменой переменных , выраженное в явной форме, может быть преобразовано к однородному уравнению . Примером служит уравнение
d
y
d
x
=
f
(
a
x
+
b
y
+
c
α α -->
x
+
β β -->
y
+
γ γ -->
)
△ △ -->
=
|
a
b
α α -->
β β -->
|
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f\left({\frac {ax+by+c}{\alpha x+\beta y+\gamma }}\right)\quad \triangle ={\begin{vmatrix}a&b\\\alpha &\beta \end{vmatrix}}\neq 0}
которое заменой
x
=
u
+
ψ ψ -->
,
y
=
v
+
ν ν -->
,
a
ψ ψ -->
+
b
ν ν -->
+
c
=
0
,
α α -->
ψ ψ -->
+
β β -->
ν ν -->
+
γ γ -->
=
0
{\displaystyle x=u+\psi ,\quad y=v+\nu ,\quad a\psi +b\nu +c=0,\quad \alpha \psi +\beta \nu +\gamma =0}
приводится к однородному уравнению
d
v
d
u
=
f
(
a
u
+
b
v
α α -->
u
+
β β -->
v
)
{\displaystyle {\frac {dv}{du}}=f\left({\frac {au+bv}{\alpha u+\beta v}}\right)}
Интегрируя это уравнение и производя обратную замену переменных, получаем все решения исходного уравнения. При
△ △ -->
=
0
{\displaystyle \triangle =0}
u
=
a
x
+
b
y
{\displaystyle u=ax+by}
