Упорядоченное поле — алгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел. Термин был предложен Артином в 1927 г.

Пусть ${\displaystyle F}$ — алгебраическое поле и для его элементов определён линейный порядок, то есть задано отношение ${\displaystyle \leqslant }$ (меньше или равно) со следующими свойствами:

1. Рефлексивность: ${\displaystyle x\leqslant x}$.
2. Транзитивность: если ${\displaystyle x\leqslant y}$ и ${\displaystyle y\leqslant z}$, то ${\displaystyle x\leqslant z}$.
3. Антисимметричность: если ${\displaystyle x\leqslant y}$ и ${\displaystyle y\leqslant x}$, то ${\displaystyle x=y}$.
4. Линейность: все элементы ${\displaystyle F}$ сравнимы между собой, то есть либо ${\displaystyle x\leqslant y}$, либо ${\displaystyle y\leqslant x}$.

Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с операциями сложения и умножения:

5. Если ${\displaystyle x\leqslant y}$, то для любого z: ${\displaystyle x+z\leqslant y+z}$.
6. Если ${\displaystyle 0\leqslant x}$ и ${\displaystyle 0\leqslant y}$, то ${\displaystyle 0\leqslant xy}$.

Если все 6 аксиом выполнены, то поле ${\displaystyle F}$ называется упорядоченным.

• Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения:

Отношение больше или равно: ${\displaystyle x\geqslant y}$ означает, что ${\displaystyle y\leqslant x}$.

Отношение больше: ${\displaystyle x>y}$ означает, что ${\displaystyle x\geqslant y}$ и ${\displaystyle x\neq y}$.

Отношение меньше: ${\displaystyle x<y}$ означает, что ${\displaystyle y>x}$.

• Формула с любым из этих 4 отношений называется неравенством.
• Элементы, бо́льшие нуля, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными. Можно определить также абсолютную величину ${\displaystyle |x|}$ элемента ${\displaystyle x}$ как ${\displaystyle max(x,-x)}$.

Один из способов определить в поле F линейный порядок — выделить в нём подмножество положительных чисел P, замкнутое относительно сложения и умножения и обладающее следующим свойством. три подмножества ${\displaystyle P}$, ноль и ${\displaystyle -P}$ не пересекаются и вместе образуют разбиение всего поля.

Пусть такое P выделено. Обозначим ${\displaystyle P_{0}=P\cup \{0\}}$ (это множество тоже замкнуто относительно сложения и умножения) и определим линейный порядок в F следующим образом:

${\displaystyle x\leqslant y}$, если ${\displaystyle y-x\in P_{0}}$

Все приведенные выше аксиомы порядка тогда выполнены. Любое упорядоченное поле может быть построено с помощью описанной процедуры.

• Всякий элемент упорядоченного поля относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, нуль. Если ${\displaystyle x}$ положителен, то ${\displaystyle -x}$ отрицателен, и наоборот.
• В любом упорядоченном поле ${\displaystyle 1>0}$ и квадрат любого ненулевого элемента положителен.
• Однотипные неравенства можно складывать:

Если ${\displaystyle x\leqslant y}$ и ${\displaystyle x'\leqslant y'}$, то ${\displaystyle x+x'\leqslant y+y'}$.

• Неравенства можно умножать на положительные элементы:

Если ${\displaystyle x\leqslant y}$ и ${\displaystyle c\geqslant 0}$, то ${\displaystyle cx\leqslant cy}$.

Вообще говоря, поле можно упорядочить разными способами. Пример: рассмотрим поле из чисел вида ${\displaystyle a+b{\sqrt {2}}}$, где ${\displaystyle a,b}$ — рациональные числа. Кроме обычного порядка, можно определить для этого поля и такой: включим в «подмножество положительных чисел» ${\displaystyle P}$ те числа ${\displaystyle a+b{\sqrt {2}}}$, для которых ${\displaystyle a>b{\sqrt {2}}}$. Нетрудно проверить, что условия, приведенные в разделе о конструктивном построении порядка, выполнены^[1].

• Подполе упорядоченного поля наследует родительский порядок и, следовательно, тоже является упорядоченным полем.
• Характеристика упорядоченного поля всегда равна нулю.
  • В частности, конечное поле не допускает порядка.
• Поле допускает упорядочение тогда и только тогда, когда оно вещественно, то есть ${\displaystyle -1}$ не может быть представлена как сумма квадратов элементов поля. Поэтому нельзя продолжить вещественный порядок на комплексные числа.
• Наименьшее упорядоченное поле — это поле рациональных чисел, которое может быть упорядочено только одним способом. Это или изоморфное ему рациональное поле содержится как подполе в любом другом упорядоченном поле.
• Если в упорядоченном поле не существует элемента большего, чем все элементы рационального поля, поле называется архимедовым^[2]. Максимальным архимедовым упорядоченным полем является поле вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$; любое другое архимедово упорядоченное поле изоморфно одному из подполей ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• Любое упорядоченное поле может быть вложено в упорядоченное поле сюрреальных чисел с сохранением порядка.

• Рациональные числа
• Вещественные числа
• Вещественные алгебраические числа
• Любое вещественно замкнутое поле
• Поле вещественных рациональных функций: ${\displaystyle {\frac {p(x)}{q(x)}}}$, где ${\displaystyle p(x),q(x)}$ — многочлены, ${\displaystyle q(x)\neq 0}$. Упорядочим его следующим образом.
  • Пусть ${\displaystyle p(x)=p_{0}x^{n}+\dots +p_{n};\quad q(x)=q_{0}x^{m}+\dots +q_{m}.}$ Будем считать, что функция ${\displaystyle {\frac {p(x)}{q(x)}}>0}$, если ${\displaystyle {\frac {p_{0}}{q_{0}}}>0}$. Вещественные константы (как многочлены нулевого порядка) тем самым упорядочены традиционным образом.
  • Из определения вытекает, что многочлен ${\displaystyle p(x)=x}$ больше, чем любая константа, то есть аксиома Архимеда для этого поля не выполняется, поле неархимедово. Это же поле допускает и архимедов порядок, например, если считать положительными те функции (дроби) ${\displaystyle r(x)}$, для которых^[3] ${\displaystyle r(\pi )>0}$.
• Гипервещественные числа — ещё один пример неархимедова поля.
• Как сказано выше, поле комплексных чисел не допускает порядка, продолжающего порядок вещественных чисел. Тем не менее некоторые комплексные подполя могут быть упорядочены. Рассмотрим, например, поле ${\displaystyle \mathbb {Q} [\theta ]}$, порождённое добавлением к полю рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ числа ${\displaystyle \theta }$ — одного из комплексных корней многочлена ${\displaystyle x^{3}-2}$. Данное поле изоморфно вещественному полю ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{2}}]}$, поэтому на него можно перенести обычный вещественный порядок^[3]

• комплексные числа
• конечные поля
• p-адические числа

• Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. М.: Наука, 1965.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. 2 изд., М.: Наука, 1979, 469 с.
• Ленг С. Алгебра. М: Мир, 1968.
• Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — 199 с..