В 1994 году поступил на службу во внутренние войска — стал прапорщиком, заместителем командира взвода в отряде специального назначения «Росич» 100-й дивизии оперативного назначения Северо-Кавказского округа внутренних войск. В составе отряда принимал участие в боевых действиях первой чеченской кампании.
В апреле 1995 года принимал участие в боях за село Бамут, в 40 километрах к юго-западу от Грозного. 18 апреля отряд «Росич» штурмовал Лысую гору — господствующую высоту в окрестностях Бамута. Преодолев крутые склоны, отряд закрепился на высоте и надёжно прикрыл левый фланг наступающей бригады, ведя бой с превосходящими силами бандитов. В бою прапорщик Терёшкин был тяжело ранен. Скончался по дороге в госпиталь. Похоронен на Старом кладбище города Лесного.
Полипрофильному техникуму в Лесном присвоено имя Терешкина. 18 июня 2012 года на здании техникума была открыта мемориальная доска.
В пожарной части города Лесной создан мемориал в честь О. В. Терешкина.
22 сентября 2019 года почтой России была выпущена почтовая марка из серии «Герой Российской Федерации» с изображением О. В. Терёшкина. К выпуску марки также были подготовлены конверты первого дня и штемпеля специального гашения для Москвы и Санкт-Петербурга.
