Теорема Парсеваля

Под теоремой Парсеваля обычно понимают унитарность преобразования Фурье. То есть сумма (или интеграл) квадрата функции равна сумме (или интегралу) квадрата результата преобразования. Следует заметить, что общий вид теоремы Парсеваля часто называют Теоремой Планшереля или Обобщенной формулой Рэлея. Теорема была доказана для рядов Марком-Антуаном Парсевалем в 1799 году и была позднее применена к рядам Фурье.

Запись теоремы имеет вид

\int \limits _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}dt=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|{\mathcal {F}}\{x(t)\}|^{2}dw,

где ${\mathcal {F}}\{\cdot \}$ обозначает непрерывное преобразование Фурье, которое связывает временной или пространственный сигнал $x(t)$ с его представлением в частотной области $X(f)$ .

Более общая и точная формулировка теоремы Парсеваля в теории интеграла Фурье выглядит так. Пусть функции $f_{1}(x)$ и $f_{2}(x)$ принадлежат пространству $L^{2}$ квадратично интегрируемых функций и пусть $g_{1}(u)$ и $g_{2}(u)$ соответственно являются их преобразованиями Фурье. Тогда:^[1]

\int _{-\infty }^{\infty }g_{1}(u)g_{2}(u)du=\int _{-\infty }^{\infty }f_{1}(x)f_{2}(-x)dx

В дискретном виде теорему записывают следующим образом:

\sum _{i=0}^{N-1}|x(i)|^{2}={1 \over N}\sum _{k=0}^{N-1}|X(k)|^{2}

где $X(k)$ представляет собой дискретное преобразование Фурье сигнала $x(k)$ , имеющего $N$ отсчетов.

Теорема Парсеваля устанавливает равенство между энергией сигнала и энергией его спектра.

Пример кода на языке MATLAB, демонстрирующий теорему Парсеваля

N = 100; % количество отсчетов
x = randn(1,N); % нормальное распределение
Et = norm(x)^2; % или так: Et = sum(x.^2);
fprintf('Энергия сигнала во временной области:%f \n', Et);

X = fftn(x);
Ew = 1/N * norm(X)^2; % или так: Ew = 1/N * sum(abs(X).^2);
fprintf('Энергия сигнала в частотной области:%f \n', Ew);

xnew = ifftn(X);
Etn = norm(xnew)^2; % или так: Etn = sum(xnew.^2);
fprintf('Энергия сигнала во временной области:%f \n', Etn);

Результат работы программы
-----------------------------
Энергия сигнала во временной области: 94.236108 
Энергия сигнала в частотной области: 94.236108 
Энергия сигнала во временной области: 94.236108

Примечания

↑ Н. Винер Преобразование Фурье в комплексной области. - М., Наука, 1964. - с. 11

Литература

Баскаков, С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. — 3-е изд. — М.: «Высшая школа», 2000. — 462 с. — ISBN 5-06-003843-2.
Гоноровский, И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. — 4-е изд. — М.: «Радио и связь», 1986. — 512 с.

См. также

Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её.

Для улучшения этой статьи по математике желательно:

Проставить сноски, внести более точные указания на источники.

После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.

Read other articles:

Cuvette-Ouest

Cuvette-Ouest (atau Cuvette Barat) adalah sebuah wilayah di Republik Kongo di bagian barat negara ini. Penduduknya berjumlah 55.800 jiwa (2005). Cuvette-Ouest berbatasan dengan wilayah Cuvette, Sangha, dan Gabon. Ibu kota daerah Ewo. Kota-kota termasuk Kéllé. Distrik Distrik Etoumbi Distrik Ewo Distrik Kéllé Distrik Mbama Distrik Mbomo Distrik Okoyo Lihat pula Ebola Artikel bertopik Afrika ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya.lbs

Pisco, Peru

City in Ica, PeruPiscoCityPlaza de Armas in 2001. Church was destroyed in the 2007 earthquake FlagCoat of armsPiscoCoordinates: 13°43′S 76°12′W / 13.717°S 76.200°W / -13.717; -76.200Country PeruRegionIcaProvincePiscoDistrictPiscoGovernment • MayorJuan Mendoza Uribe (2019-2022)Area • Total3,978.19 km2 (1,535.99 sq mi)Elevation9 m (30 ft)Population • Estimate (2015)[1]104,656DemonymPis...

خوسيه أنتونيو غاريدو

خوسيه أنتونيو غاريدو معلومات شخصية الميلاد 11 يوليو 1960 (64 سنة) لواندا الطول 1.87 م (6 قدم 1 1⁄2 بوصة) مركز اللعب مدافع الجنسية أنغولا معلومات النادي النادي الحالي الجبلين (مدرب) مسيرة الشباب سنوات فريق 1975 أتلتيكو سبورت أفياتسو 1975–1976 Amadores Caminha 1976–1977 سبورتي�...

Wath Academy

Academy in Wath-upon-Dearne, Rotherham, South Yorkshire, EnglandWath AcademyAddressSandygateWath-upon-DearneRotherham, South Yorkshire, S63 7NWEnglandCoordinates53°29′48″N 1°20′31″W / 53.4967°N 1.3419°W / 53.4967; -1.3419InformationFormer namesWath Secondary School (1923–1931)Wath Grammar School (1931–1974)Wath Comprehensive School (1974–2001)Wath Comprehensive School: A Language College (2001–2019)TypeAcademyMottoLatin: Meliora Spectare(Look to Be...

2021 Supercopa Uruguaya

Football match2021 Supercopa UruguayaEstadio Centenario hosted the match. Nacional Montevideo Wanderers 2 0 Date2 May 2021VenueEstadio Centenario, MontevideoRefereeLeodán GonzálezAttendance0[note 1]← 2020 2022 → The 2021 Supercopa Uruguaya was the fourth edition of the Supercopa Uruguaya, Uruguay's football super cup. It was held on 2 May 2021 between the 2020 Primera División champions Nacional and the 2020 Torneo Intermedio runners-up Montevideo Wanderers, who qualifi...

Steve Asmussen

American Thoroughbred racehorse trainer Steve AsmussenAsmussen at the 2016 Breeders' CupOccupationJockey, TrainerBorn (1965-11-18) November 18, 1965 (age 58)Gettysburg, South Dakota, USACareer wins10,325 (As of December 10, 2023)[1]Major racing winsMother Goose Stakes (1999, 2009, 2014)Spinaway Stakes (2001, 2009)Arkansas Derby (2002, 2007, 2016, 2020, 2021)Belmont Futurity Stakes (2003, 2005)Test Stakes (2003)Ballerina Handicap (2004)Kentucky Oaks (2005, 2014)Jockey Club Gold Cu...

2016年美國總統選舉

2016年美國總統選舉 ← 2012 2016年11月8日 2020 → 538個選舉人團席位獲勝需270票民意調查投票率55.7%[1][2] ▲ 0.8 % 获提名人唐納·川普希拉莉·克林頓政党共和黨民主党家鄉州紐約州紐約州竞选搭档迈克·彭斯蒂姆·凱恩选举人票 304[3][4][註 1] 227[5] 胜出州/省 30 + 緬-2 20 + DC 民選得票 62,984,828[6] 65,853,514[6]...

Henri de Bournazel

Pour les articles homonymes, voir Bournazel. Henri de Bournazel Carte dédicacée par Henri de Bournazel (n.d.) Surnom L'Homme Rouge Naissance 21 février 1898Limoges Décès 28 février 1933 (à 35 ans)Djebel Saghro, Protectorat du MarocMort au combat Années de service 1916 – 1933 Conflits Première Guerre mondialePacification du Maroc modifier Henri de Bournazel[1] (Henri de Lespinasse de Bournazel, dit L'Homme Rouge) est un militaire français né à Limoges le 21 février 1...

WAOA-FM

Radio station in Melbourne, FloridaWAOA-FMMelbourne, FloridaBroadcast areaSpace Coast (Melbourne-Titusville-Cocoa)Frequency107.1 MHzBranding107-1 A1AProgrammingFormatTop 40 (CHR)AffiliationsWestwood OneOwnershipOwnerCumulus Media(Cumulus Licensing LLC)Sister stationsWHKR, WLZR, WROK-FMHistoryFirst air dateNovember 1972 (as WTAI-FM)Former call signsWTAI-FM (1972–1978)WLLV (1978–1984)WVTI (1984–1989)WAOA (1989–2000)Call sign meaningWA-One-A (Coastal Highway in Florida)Technical informat...

سحر رامي

سحر رامي معلومات شخصية الميلاد 20 يونيو 1961 (63 سنة) مواطنة مصر الزوج حسين الإمام إخوة وأخوات علا رامي الحياة العملية المهنة ممثلة أعمال بارزة إلا ابنتي، وكابوريا، وهوانم جاردن سيتي المواقع السينما.كوم صفحتها على السينما.كوم تعديل مصدري - تعديل ...

Archuleta County, Colorado

County in Colorado, United States County in ColoradoArchuleta CountyCountyArchuleta County CourthouseLocation within the U.S. state of ColoradoColorado's location within the U.S.Coordinates: 37°11′N 107°03′W / 37.19°N 107.05°W / 37.19; -107.05Country United StatesState ColoradoFoundedApril 14, 1885Named forAntonio D. ArchuletaSeatPagosa SpringsLargest townPagosa SpringsArea • Total1,356 sq mi (3,510 km2) • Land1,...

Operation Lone Star

2021 to present Texas border operation Operation Lone StarPart of the Mexico–United States border crisisTexas National Guard members during Operation Lone StarDateMarch 6, 2021 – present (2021-03-06 – present)(3 years, 3 months, 1 week and 2 days)LocationTexas portion of the Mexico–United States borderTargetIllegal immigration to the United StatesIllegal drug tradeHuman smugglingBudget$10 billion as of January 2024[1]Participants...

Jay-Z

American rapper and businessman (born 1969) For other uses, see JZ (disambiguation). Jay-ZJay-Z in 2011BornShawn Corey Carter (1969-12-04) December 4, 1969 (age 54)New York City, U.S.Other namesThe Carter AdministrationJiggaHovaEl PresidenteHOV[1]Occupations Rapper songwriter record producer entrepreneur record executive media proprietor Years active1986–present[2][3][4]WorksAlbumsproductionsinglessongsvideographySpouse Beyoncé (...

Royal Rumble (2016)

WWE pay-per-view and livestreaming event Royal RumblePromotional poster featuring John CenaPromotionWWEDateJanuary 24, 2016CityOrlando, FloridaVenueAmway CenterAttendance15,170Buy rate91,000[1] (excluding WWE Network views)WWE Network event chronology ← PreviousNXT TakeOver: London Next →Fastlane Royal Rumble chronology ← Previous2015 Next →2017 The 2016 Royal Rumble was the 29th annual Royal Rumble professional wrestling pay-per-view (PPV) and livestreamin...

2019 World Rowing Championships – Women's lightweight single sculls

Women's lightweight single sculls at the 2019 World Rowing ChampionshipsVenueLinz-OttensheimLocationOttensheim, AustriaDates25–30 AugustCompetitors17 from 17 nationsWinning time7:43.98Medalists Marie-Louise Dräger Germany Chiaki Tomita Japan Madeleine Arlett Great Britain← 20182022 → 2019 World Rowing ChampionshipsOpenweight eventsSingle scullsmenwomenDouble scullsmenwomenQuadruple scullsmen...

Pirenei Orientali

Questa voce sugli argomenti dipartimenti della Francia e Pirenei Orientali è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Pirenei Orientalidipartimento(FR) Pyrénées-Orientales(CA) Pirineus Orientals(OC) Pirenèus Orientals (dettagli) (dettagli) Pirenei Orientali – Veduta LocalizzazioneStato Francia RegioneOccitania AmministrazioneCapoluogoPerpignano Presidente del Consiglio dipartimentaleHermeline Malherbe-Laurent (PS) Data di istituzion...

Finlande aux Jeux olympiques d'été de 1928

Cet article est une ébauche concernant les Jeux olympiques et la Finlande. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. Finlande aux Jeux olympiques d'été de 1928 Code CIO FIN Lieu Amsterdam Participation 5e Athlètes 69 (67 hommes et 2 femmes) Porte-drapeau Akilles Järvinen MédaillesRang : 3e Or8 Arg.8 Bron.9 Total25 Historique Jeux olympiques d'été 1908 1912 1920 1924 1928 1932 1936 1948 1952 19...

Forze speciali italiane

Le forze speciali italiane sono le unità delle forze armate italiane appositamente designate a condurre operazioni speciali. Gli incursori del 9º Reggimento d'assalto paracadutisti Col Moschin a Roma durante la parata della festa della Repubblica. I membri delle Forze speciali italiane sono definiti incursori. Indice 1 Storia 1.1 La prima guerra mondiale e gli arditi 1.2 Il ventennio fascista e la seconda guerra mondiale 1.3 Il secondo dopoguerra e la riorganizzazione 1.4 Gli anni 2000 1.5 ...

Battle of Yenangyaung

Battle of YenangyaungPart of the Burma campaign, the South-East Asian theatre of World War II, the Second Sino-Japanese War and the Pacific Theater of World War IIThe Japanese conquest of Burma (the left red arrow represents Japanese movements to Yenangyaung)Date (1942-04-16) (1942-04-19)16–19 April 1942(3 days)LocationYenangyaung, BurmaResult Allied victoryBelligerents China United Kingdom India JapanCommanders and leaders Sun Li-jen Liu Fangwu James Scott John ...

Bergen, Neuburg

Bergen is a village near Neuburg an der Donau, in Neuburg-Schrobenhausen, in Upper Bavaria, in Bavaria. The place is known locally as Baring. It is part of the municipality of Neuburg an der Donau. Panoramic view Location Bergen lies about 8 km north of Neuburg an der Donau. Sights Pilgrims church of the Holy Cross: Rococo frescoes by Johann Wolfgang Baumgartner, with Roman tower and Roman crypt (with the Rococo changes undertaken sensitively); Renaissance epitaph for Wilhalm von Muhr an...