Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов

Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов — утверждение о том, что всякое натуральное число можно представить в виде суммы четырёх квадратов целых чисел.

Утверждение теоремы впервые появилось в «Арифметике» Диофанта, переведённой на латынь Баше в 1621 году. Важную для теоремы лемму о том, что произведение сумм четырёх квадратов есть сумма четырёх квадратов, доказал Эйлер, который был близок к доказательству самой теоремы Лагранжа^[1]; Лагранж доказал теорему в 1770 году.

Теорема является решением проблемы Варинга для степени $n=2$ . Поскольку числа вида $4^{m}(8n+7),$ где ${\overline {m,n}}={\overline {0,1,2,\;\ldots }}$ , непредставимы суммой трёх квадратов согласно теореме Лежандра о трёх квадратах^[1], то теорема Лагранжа даёт одно из двух известных значений функции Харди $G(2)=4$ .

Существует конструктивное доказательство — алгоритм, позволяющий находить такое представление для числа $N$ с помощью $O(N^{2}\log _{2}{N})$ арифметических операций^[2]. Другой вариант доказательства основан на использовании алгебраических свойств кватернионов^[3].

Примеры:

3=1^{2}+1^{2}+1^{2}+0^{2}

31=5^{2}+2^{2}+1^{2}+1^{2}

310=17^{2}+4^{2}+2^{2}+1^{2}

9=3^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}

Примечания

↑ ¹ ² Современные проблемы математики: Рецензируемое издание Математического института имени В. А. Стеклова РАН. — 2008. — Выпуск № 11. — С. 22.
↑ Тихомиров В. М. Глава 4. Лагранж и его теорема о четырёх квадратах // Великие математики прошлого и их великие теоремы. — 2-е изд., испр. — МЦНМО, 2003. — Т. 1. — 16 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-94057-110-7. Архивировано 8 июля 2011 года.
↑ Дрозд Ю. А. Теорема о четырёх квадратах // Математика сегодня / Ред. А. Я. Дороговцев. — Киев: Вища школа, 1982. — С. 88—93.

В другом языковом разделе есть более полная статья Lagrange's four-square theorem (англ.).

Вы можете помочь проекту, расширив текущую статью с помощью перевода

Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её.

Read other articles:

Alamat IP

Internet Protocol address (atau disingkat alamat IP) adalah label numerik yang ditetapkan untuk setiap perangkat yang terhubung ke jaringan komputer yang menggunakan Protokol Internet untuk komunikasi.[1][2] Alamat IP memiliki dua fungsi utama: host atau identifikasi antarmuka jaringan dan pengalamatan lokasi. Internet Protocol versi 4 (IPv4) mendefinisikan alamat IP sebagai nomor 32-bit.[2] Namun, karena pertumbuhan Internet dan menipisnya alamat IPv4 yang tersedia, v...

Pulau Ambalau

AmbelauAmbelauLokasi di IndonesiaGeografiLokasiAsia TenggaraKoordinat3°52′S 127°12′E / 3.867°S 127.200°E / -3.867; 127.200KepulauanMalukuTitik tertinggi608 mPemerintahanNegaraIndonesiaKota terbesarWailuaKependudukanPenduduk9.600 jiwa (2009) Peta Pulau Buru dengan Ambelau di sebelah tenggaranya Pulau Ambelau adalah sebuah pulau vulkanik yang terletak di Laut Banda di kepulauan Maluku. Pulau ini terletak di Kecamatan Ambelau di Kabupaten Buru S...

حركة مقذوف

مسار المياه بشكل قطع مكافئ السرعة البدائية للقذف بشكل قطع مكافئ مركبتي السرعة البدائية للقذف بشكل قطع مكافئ حركة المقذوف شكل الحركة التي يقذف بها جسيم أو كما يسمى قذيفة بالقرب من سطح الأرض، وتتحرك في مسار منحني يخضع لتأثير عجلة الجاذبية فقط. كما يفترض أيضًا إهمال مقاومة ال...

Championnat des Flandres 2017

Cet article est une ébauche concernant le cyclisme. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. Championnat des Flandres 2017 GénéralitésCourse102e Championnat des FlandresCompétitionsUCI Europe Tour 2017 1.1Coupe de Belgique de cyclisme sur route 2017Date15 septembre 2017Distance192 kmPays BelgiqueLieu de départKoolskampLieu d'arrivéeKoolskampÉquipes20Partants145Arrivants108Vitesse moyenne44,214 km/...

Liga Negara UEFA 2024–2025

Liga Negara UEFA 2024–2025Informasi turnamenJadwalpenyelenggaraanFase Liga:5 September – 19 November 2024Perempat final Liga A danperebutan tempat promosi/degradasi Liga A/B dan B/C:20–23 Maret 2025Babak final:4–8 Juni 2025Perebutan tempat promosi/degradasi Liga C/D:26–31 Maret 2026Jumlahtim peserta54← 2022–2023 2026–2027 → Liga Negara UEFA 2024–2025 adalah musim keempat Liga Negara UEFA, sebuah kompetisi sepak bola internasional yang melibatkan tim-tim nasional pr...

Peter Mayhew

Peter MayhewMayhew di Florida SuperCon, Juni 2015Lahir(1944-05-19)19 Mei 1944 Barnes, Surrey, Britania RayaMeninggal30 April 2019(2019-04-30) (umur 74) Boyd, Texas, Amerika SerikatTempat tinggalBoyd, Texas, Amerika SerikatKebangsaanBritania Raya, Amerika SerikatPekerjaanAktorTahun aktif1976–2019Dikenal atasPemeran Chewbacca di seri Star WarsTinggi7 ft 3 in (221 cm)Suami/istriMary Angelique Cigainero (m. 1999; hingga kematiannya&#...

Gerfalco

Frazione in Tuscany, ItalyGerfalcoFrazioneView of GerfalcoGerfalcoLocation of Gerfalco in ItalyCoordinates: 43°8′47″N 10°58′46″E / 43.14639°N 10.97944°E / 43.14639; 10.97944Country ItalyRegion TuscanyProvinceGrosseto (GR)ComuneMontieriElevation774 m (2,539 ft)Population (2011) • Total110DemonymGerfalchiniTime zoneUTC+1 (CET) • Summer (DST)UTC+2 (CEST)Postal code58020Dialing code(+39) 0564 Gerfalco is...

العلاقات الغامبية الكوبية

العلاقات الغامبية الكوبية غامبيا كوبا غامبيا كوبا تعديل مصدري - تعديل العلاقات الغامبية الكوبية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين غامبيا وكوبا.[1][2][3][4][5] مقارنة بين البلدين هذه مقارنة عامة ومرجعية للدولتين: وجه المقارنة غامبيا كوبا �...

Філософія

Частина серії проФілософіяLeft to right: Plato, Kant, Nietzsche, Buddha, Confucius, AverroesПлатонКантНіцшеБуддаКонфуційАверроес Філософи Епістемологи Естетики Етики Логіки Метафізики Соціально-політичні філософи Традиції Аналітична Арістотелівська Африканська Близькосхідна іранська Буддій�...

Gresufes

Gresufes Gresufes is a Portuguese hamlet in the parish of Balasar, Póvoa de Varzim.[1] It lies about 7 kilometres (4.3 mi) west of Vila Nova de Famalicão.[2] Its name is of Suebi origin.[citation needed] Gresufes was a parish until 1442, when it merged with the neighbouring parish of Casal to form Balasar, named after a small place in the area.[citation needed] Alexandrina Maria da Costa was born in Gresufes.[3] References ^ Caracterização - Ju...

Nawiady

Village in Warmian-Masurian Voivodeship, PolandNawiadyVillageNawiadyCoordinates: 53°43′N 21°19′E / 53.717°N 21.317°E / 53.717; 21.317Country PolandVoivodeshipWarmian-MasurianCountyMrągowoGminaPiecki Nawiady [naˈvjadɨ] is a village in the administrative district of Gmina Piecki, within Mrągowo County, Warmian-Masurian Voivodeship, in northern Poland.[1] It lies approximately 4 kilometres (2 mi) south-west of Piecki, 17 km (11 mi) ...

مانيبور

مانيبور خريطة الموقع سميت باسم لؤلؤ تاريخ التأسيس 1972 تقسيم إداري البلد الهند [1] العاصمة إمفال التقسيم الأعلى الهند خصائص جغرافية إحداثيات 24°49′N 93°56′E / 24.81°N 93.94°E / 24.81; 93.94 [2] المساحة 22327 كيلومتر مربع السكان التعداد السكان�...

Tahun Baru Kamboja

Tahun Baru KambojaWanita muda di sebuah perayaan Tahun Baru Khmer di Lithonia, Georgia, AS, 2010.Nama resmiTahun Baru Kamboja (បុណ្យចូលឆ្នាំថ្មី)Nama lainChaul Chnam ThmeyDirayakan olehKhmersMaknaTanda-tanda Tahun Baru KambojaMulai14 AprilBerakhir16 AprilTanggal17 AprilFrekuensitahunanTerkait denganThingyan, Tahun Baru Laos, Songkran Artikel ini mengandung teks berbahasa Khmer. Tanpa dukungan perenderan yang baik, Anda mungkin akan melihat tanda tanya, kotak,...

Dux

Romawi Kuno Artikel ini adalah bagian dari seri Politik dan KetatanegaraanRomawi Kuno Zaman Kerajaan Romawi753–509 SM Republik Romawi509–27 SM Kekaisaran Romawi27 SM – 395 M Principatus Dominatus Wilayah Barat395–476 M Wilayah Timur395–1453 M Lini Masa Konstitusi Romawi Konstitusi Zaman Kerajaan Konstitusi Zaman Republik Konstitusi Zaman Kekaisaran Konstitusi Akhir Zaman Kekaisaran Senatus Sidang Legislatif Magistratus Eksekutif Preseden dan Hukum Hukum Romawi Ius Imperium Mos Maior...

دويسبورغ

دويسبورغ (بالألمانية: Duisburg)‏ دويسبورغ دويسبورغ خريطة الموقع تقسيم إداري البلد ألمانيا [1][2] التقسيم الأعلى دوسلدورف (1815–) خصائص جغرافية إحداثيات 51°25′56″N 6°45′40″E / 51.432222222222°N 6.7611111111111°E / 51.432222222222; 6.7611111111111 [3] المساحة 232.80 كيلومتر...

Stuart Bingham

English professional snooker player, 2015 world champion Stuart BinghamBingham at the 2016 Paul Hunter ClassicBorn (1976-05-21) 21 May 1976 (age 48)Basildon, Essex, EnglandSport country EnglandNicknameBall-run[1]Professional1995–presentHighest ranking2 (May 2015 – March 2017)Current ranking 25 (as of 7 May 2024)Maximum breaks9Century breaks585 (as of 15 June 2024)Tournament winsRanking6Minor-ranking4World Champion2015 Stuart Bingham (born 21 May 1976)[2] is an En...

The Frye Company

American shoe manufacturer This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: The Frye Company – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (November 2016) (Learn how and when to remove this message) The Frye CompanyCompany typeSubsidiaryIndustryLeather GoodsFounded1863FounderJohn A. FryeHeadquartersNew York, ...

Russian reversal

Russian reversal (pembalikan Rusia) adalah sebuah jenis lelucon, yang biasanya dimulai dengan kata Di Rusia Soviet, dimana subyek dan objek dari sebuah pernyataan dibalik, umumnya sebagai sebuah susunan snowclone: Di Amerika, kamu <melakukan suatu hal> kepada/terhadap X, Di Rusia Soviet, X <melakukan suatu hal> kepada/terhadapmu. Terkadang, bagian pertama dihilangkan.[1] Meskipun cikal bakal dari bentuk lelucon tersebut masih belum jelas, sebuah contoh awal berasal dari mu...

Nitrendipine

Antihypertensive drug of the calcium channel blocker class NitrendipineClinical dataTrade namesBaypressAHFS/Drugs.comInternational Drug NamesRoutes ofadministrationBy mouthATC codeC08CA08 (WHO) Pharmacokinetic dataBioavailability60–70%Protein binding98%MetabolismHepatic (completely)Onset of action1–2 hoursElimination half-life8–24 hoursExcretionUrine (30%)Identifiers IUPAC name (RS)-3-Ethyl 5-methyl 2,6-dimethyl-4-(m-nitrophenyl)-1,4-dihydropyridine-3,5-dicarboxylate CAS Numbe...

雲林縣私立義峰高級中學

義峰學校財團法人雲林縣義峰高級中學地址643 雲林縣林內鄉烏麻村長源201號邮政编码643其它名称Yi-Feng High School类型私立技術型高級中學所屬法人義峰學校財團法人创办日期1999年创始人張天來学区中華民國臺灣省雲林縣教育部學校代碼091318校長張菁惠教師人數80人职员人数40人年级3年制学生人数約900人校园面积10.7502公頃校訓忠誠勤和学校网址雲林縣義峰高級中學義峰學�...

Letters from Marusia

Kalibuntu Wetan, Kendal, Kendal

Sceptre (fusion reactor)

Beaulieu-les-Fontaines

2017–18 Toronto Raptors season

Anzac Parade, Sydney

1955 Australian federal election

Donna Veach