Теорема Бруна — Тичмарша — утверждение аналитической теории чисел, определяющее верхнюю границу^[англ.] распределения арифметических прогрессий из простых чисел. Носит имя математиков Вигго Бруна и Эдварда Чарльза Тичмарша^[англ.].

Теорема утверждает, что если ${\displaystyle \pi (x;q,a)}$ равно числу простых чисел ${\displaystyle p}$, сравнимых с ${\displaystyle a}$ по модулю ${\displaystyle q}$ при ${\displaystyle p\leqslant x}$, то:

${\displaystyle \pi (x;q,a)\leqslant {2x \over \varphi (q)\log(x/q)}}$

для всех ${\displaystyle q<x}$.

Теорема доказана с помощью методов просеивания^[англ.] Монтгомери и Воном в 1973 году^[1]. Более ранний результат Бруна и Тичмарша является более слабой версией этого неравенства (с дополнительным множителем ${\displaystyle 1+o(1)}$).

Если ${\displaystyle q}$ относительно мало, то есть, ${\displaystyle q\leqslant x^{9/20}}$, то существует граница лучше:

${\displaystyle \pi (x;q,a)\leqslant {(2+o(1))x \over \varphi (q)\ln(x/q^{3/8})}}$

Это показал Мотохаси^[2], использовавший билинейную структуру в остаточном члене решета Сельберга (Selberg), открытую им самим. Позднее идея использования структур в остаточном члене решета, благодаря расширениям комбинаторного решета Иванцем (H. Iwaniec), развита до основного метода аналитической теории чисел.

В отличие от теоремы Бруна — Тичмарша теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии даёт асимптотическую оценку, которую можно выразить в форме:

${\displaystyle \pi (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)\log(x)}}\left({1+O\left({\frac {1}{\log x}}\right)}\right)}$,

но эта оценка может быть доказана только при более сильных ограничениях на ${\displaystyle q<(\log x)^{c}}$ для константы ${\displaystyle c}$, и это теорема Зигеля — Волфица^[англ.].

• Yoichi Motohashi. Sieve Methods and Prime Number Theory. — Tata IFR and Springer-Verlag, 1983. — ISBN 3-540-12281-8.
• Christopher Hooley. Applications of sieve methods to the theory of numbers. — Cambridge University Press, 1976. — С. 10. — ISBN 0-521-20915-3.
• H. Mikawa. Encyclopedia of Mathematics. — Springer. — ISBN 978-1-55608-010-4.
• H. L. Montgomery, R. C. Vaughan. The large sieve // Mathematika. — 1973. — Т. 20. — С. 119—134. — doi:10.1112/s0025579300004708.

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.