PROFILPELAJAR.COM

Теорема Адамара о степенном ряде (также теорема Коши — Адамара) — утверждение, которое даёт оценку радиуса сходимости степенных рядов для некоторых случаев. Названа в честь французских математиков Коши и Адамара. Теорема была опубликована Коши в 1821^[1], но оставалась незамеченной пока Адамар не переоткрыл её^[2]. Адамар опубликовал результат в 1888 году^[3]. Он также включил его в докторскую диссертацию в 1892 году^[4].

Формулировка

Пусть $\sum _{\nu =0}^{+\infty }a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu }$ — степенной ряд с радиусом сходимости $R$ . Тогда:

$(\alpha )$ если верхний предел $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}$ существует и положителен, то $R={\frac {1}{\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}}}$ ;

$(\beta )$ если $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}=0$ , то $R=+\infty$ ;

$(\gamma )$ если верхнего предела $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}$ не существует, то $R=0$ .

Доказательство

$(\alpha )$ Пусть $\lambda =\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}\in (0;+\infty )$ .

Если точка $z\in \mathbb {C}$ такова, что $|z-z_{0}|<{\frac {1}{\lambda }}$ , то $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}<1$ и можно найти такое число $q<1$ , что почти для всех $\nu$ будет выполняться ${\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}<q\,$ . Из этого неравенства следует, что геометрическая прогрессия $\sum _{\nu =0}^{+\infty }q^{\nu }$ является сходящейся мажорантой ряда $\sum _{\nu =0}^{+\infty }|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|$ , то есть $R={\frac {1}{\lambda }}$ .

Если, наоборот, точка $z\in \mathbb {C}$ удовлетворяет условию $|z-z_{0}|>{\frac {1}{\lambda }}$ , то $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }({\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}\cdot |z-z_{0}|)>1$ и для бесконечного множества номеров $\nu$ будет выполняться $|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|\geqslant 1$ . Следовательно, ряд $\sum _{\nu =0}^{+\infty }|a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu }|$ в точке $z$ расходится, поскольку его члены не стремятся к нулю.

$(\beta )$ Пусть $\lambda =\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}=0$ . Тогда для каждого $z\in \mathbb {C}$ последовательность ${\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}$ сходится к нулю. Поэтому, если выбрать число $q=q(z)\in (0;1)$ , то для почти всех номеров $\nu$ будет выполняться неравенство $|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|<q^{\nu }$ , откуда, как и в $(\alpha )$ , следует сходимость ряда в точке $z$ . Формально $R={\frac {1}{+0}}=+\infty$ .

$(\gamma )$ Верхнего предела $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}$ в $\mathbb {R}$ не существует (т.е. формально $\lambda =\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}=+\infty \in {\overline {\mathbb {R} }}$ ) в том и только том случае, если последовательность ${\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}$ неограничена сверху. Если $z\neq z_{0}$ , то неограничена и последовательность ${\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}$ . Поэтому ряд $\sum _{\nu =0}^{+\infty }a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu }$ в точке $z\neq z_{0}$ расходится. Следует отметить, что при $z=z_{0}$ ряд $\sum _{\nu =0}^{+\infty }a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu }$ сходится к $a_{0}$ . Окончательно $R=0$ (т.е. формально $R={\frac {1}{+\infty }}=+0$ , фактически $R=\varliminf \limits _{\nu \to +\infty }{\frac {1}{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}}=0$ ).

Примечания

↑ Cauchy, A. L. (1821), Analyse algébrique.
↑ Bottazzini, Umberto (1986), The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass, Springer-Verlag, pp. 116—117, ISBN 978-0-387-96302-0. Переведено на английский с итальянского Warren Van Egmond.
↑ Hadamard, J., "Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d'une variable", C. R. Acad. Sci. Paris, 106: 259—262.
↑ Hadamard, J. (1892), "Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 4^e Série, VIII. Также в Thèses présentées à la faculté des sciences de Paris pour obtenir le grade de docteur ès sciences mathématiques, Paris: Gauthier-Villars et fils, 1892.