Теорема Абеля — результат теории степенных рядов, названный в честь норвежского математика Нильса Абеля. Обратной к ней является теорема Абеля — Таубера.

Пусть ${\displaystyle \textstyle f(x)=\sum \limits _{n\geqslant 0}a_{n}x^{n}}$ — степенной ряд с комплексными коэффициентами и радиусом сходимости ${\displaystyle R}$.

Если ряд ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{n\geqslant 0}a_{n}R^{n}}$ является сходящимся, тогда:

${\displaystyle \lim _{x\to R^{-}}f(x)=\sum _{n\geqslant 0}a_{n}R^{n}}$.

Заменой переменных ${\displaystyle u=x/R}$, можно считать ${\displaystyle R=1}$. Также (необходимым подбором ${\displaystyle a_{0}}$) можно предположить ${\displaystyle \textstyle \sum a_{n}=0}$. Обозначим ${\displaystyle S_{n}}$ частичные суммы ряда ${\displaystyle \textstyle \sum a_{n}}$. Согласно предположению ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=0}$ и нужно доказать, что ${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}f(x)=0}$.

Рассмотрим ${\displaystyle x\in [0,1]}$. Тогда (приняв ${\displaystyle S_{-1}=0}$):

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}(S_{n}-S_{n-1})x^{n}=\sum _{n=0}^{N}S_{n}(x^{n}-x^{n+1})+S_{N}x^{N+1}.}$

Отсюда получается ${\displaystyle \textstyle f(x)=(1-x)\sum \limits _{n=0}^{\infty }S_{n}x^{n}}$.

Для произвольного ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует натуральное число ${\displaystyle N_{0}}$, что ${\displaystyle |S_{n}|\leq \varepsilon }$ для всех ${\displaystyle n>N_{0}}$, поэтому:

${\displaystyle \vert f(x)\vert \leqslant (1-x)\left\vert \sum _{n=0}^{N_{0}}S_{n}x^{n}\right\vert +(1-x)\ \varepsilon \sum _{n=N_{0}+1}^{\infty }x^{n}=(1-x)\left\vert \sum _{n=0}^{N_{0}}S_{n}x^{n}\right\vert +\varepsilon x^{N_{0}+1}.}$

Правая часть стремится к ${\displaystyle \varepsilon }$ когда ${\displaystyle x}$ стремится к 1, в частности она меньше ${\displaystyle 2\varepsilon }$ при следовании ${\displaystyle x}$ к 1.

Возьмем ${\displaystyle \textstyle f(x)=\sum \limits _{n\geqslant 1}{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=\ln(1+x)}$. Поскольку ряд ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{n\geqslant 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}$ сходится, имеем:

${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}f(x)=\ln 2=\sum _{n\geqslant 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}$

Возьмем ${\displaystyle \textstyle g(x)=\sum \limits _{n\geqslant 0}{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}}=\arctan(x)}$. Поскольку ряд ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{n\geqslant 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}$ сходится, имеем:

${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}g(x)=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}=\sum _{n\geqslant 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}$

• Abel summability (англ.) на сайте PlanetMath. (a more general look at Abelian theorems of this type)
• Weisstein, Eric W. Abel's Convergence Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.