Тензорное произведение алгебр — конструкция, дающая новую алгебру по двум данным алгебрам над коммутативным кольцом. Наиболее распространён случай, когда кольцо является полем.

Пусть R — коммутативное кольцо, а A и B — R-алгебры. Поскольку A и B можно рассматривать как R-модули, их тензорное произведение

${\displaystyle A\otimes _{R}B}$

также является R-модулем. Тензорному произведению можно придать структуру кольца, определив произведение на простых элементах вида a ⊗ b следующим образом ^{[1] [2]}

${\displaystyle (a_{1}\otimes b_{1})(a_{2}\otimes b_{2})=a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2}}$

и затем продолжив эту операцию по линейности на всю A ⊗_R B. Полученное кольцо является R-алгеброй, ассоциативной с единичным элементом, задаваемым 1_A ⊗ 1_B ^[3], где 1 _A и 1 _B — единичные элементы A и B. Если A и B коммутативны, то тензорное произведение также коммутативно.

Тензорное произведение превращает категорию R-алгебр в симметричную моноидальную категорию.

Существуют естественные гомоморфизмы из A и B в A ⊗_R B, заданые следующим образом^[4]:

${\displaystyle a\mapsto a\otimes 1_{B}}$

${\displaystyle b\mapsto 1_{A}\otimes b}$

Эти отображения делают тензорное произведение копроизведением в категории коммутативных R-алгебр.

При этом тензорное произведение не является копроизведением в категории всех R-алгебр. Здесь копроизведение дается более общим свободным произведением алгебр. Тем не менее тензорное произведение некоммутативных алгебр можно описать универсальным свойством, аналогичным свойству копроизведения:

${\displaystyle {\text{Hom}}(A\otimes B,X)\cong \lbrace (f,g)\in {\text{Hom}}(A,X)\times {\text{Hom}}(B,X)\mid \forall a\in A,b\in B:[f(a),g(b)]=0\rbrace ,}$

где [-, -] обозначает коммутатор. Естественный изоморфизм задается идентификацией морфизма ${\displaystyle \phi :A\otimes B\to X}$ в левой части с парой морфизмов ${\displaystyle (f,g)}$ с правой стороны, где ${\displaystyle f(a):=\phi (a\otimes 1)}$ и аналогично ${\displaystyle g(b):=\phi (1\otimes b)}$.

• Lang, Serge. Algebra. — Springer, 2002. — Vol. 21. — ISBN 0-387-95385-X.