Отец — Ахмеджан Мухамеджанович Табеев, старший из четырёх братьев. По национальности татарин[1][2][3][4]. Участник Гражданской и Великой Отечественной войн. Был командиром отряда красноармейцев. Воевал с басмачеством в Средней Азии. Был личным связистом Михаила Фрунзе. Погиб на фронте зимой 1942. Мать — Сабира Музиповна Табеева (Бегишева). Брат — Джаудат Табеев (1925—2007).
С 1957 года завотделом науки и учзаведений, с 1959 года - секретарь по идеологии, а в 1960—1979 годах первый секретарь Татарского обкома КПСС. Был самым молодым первым секретарём обкома партии - 32 лет, рекорд никто после него не побил и не повторил. Сыграл большую роль в развитии нефтяной и нефтехимической промышленности, машиностроения в республике. Под его руководством разведаны и пущены в эксплуатацию новые месторождения нефти, основан Нижнекамск, где построен ряд крупных химических заводов. Построена Камская ГЭС, Заинская ГРЭС. Объединение «Татнефть» за свою историю дала стране наибольший объём нефти. В г. Набережные Челны был построен Камский автомобильный завод («КамАЗ»). В г. Нижнекамск построен «Нижнекамскнефтехим». В Казани запущен «Казаньоргсинтез», открыт завод по производству силикатного кирпича, застроены новые районы Горки и Савиново. Возведены цирк, здания Татарского академического драматического театра имени Галиаскара Камала и Казанского симфонического оркестра, Дворец спорта, стадион, здание Госсовета, новые корпуса Казанского Университета, Дворец химиков и плавательный бассейн, гостиница «Татарстан», построены одни из самых крупных в СССР тепличных хозяйств.
Накануне Табеев был вызван в Москву к секретарю ЦК КПССМ. А. Суслову. М. А. Суслов начал: «Нам нужен крупный политический деятель на должность чрезвычайного и полномочного посла СССР в Афганистане. Самой подходящей кандидатурой, по мнению руководства страны, на сегодня являетесь вы, Фикрят Ахмеджанович. Вы первый секретарь крупнейшего обкома партии. Очень важно, что вы мусульманин. Член ЦК КПСС. Входите во многие международные организации стран Азии и Африки. Построили в Татарстане такие заводища, как КамАЗ, нефтехимический комплекс, новые города. Потом ведь вы, товарищ Табеев, межнациональные, межрелигиозные отношения знаете не понаслышке. Татарстан — это большой регион стабильности прекрасных взаимоотношений между народами многих национальностей»[5]. После согласия занять должность посла в Демократической Республике Афганистан — Суслова М. А. и Табеева Ф. А. принял генеральный секретарь ЦК КПССЛ. И. Брежнев, одобрив решение о согласии, он сказал: «В Фикряте я никогда не сомневался»[6]. Вспоминая о том времени, Ф. А. Табеев отмечал:
«Назначение меня чрезвычайным и полномочным послом СССР в Афганистан в то непростое время, я посчитал большой честью. Так же продолжаю думать и по прошествии многих лет»