Пусть дано вероятностное пространство и определённые на нём случайные величины . Каждая случайная величина индуцирует вероятностную меру на , называемую её распределением.
Случайные величины сходятся по распределению к случайной величине , если распределения слабо сходятся к распределению , то есть
для любой непрерывной ограниченной[1][2] функции .
Замечания
Пользуясь теоремой о замене меры в интеграле Лебега, последнее равенство может быть переписано следующим образом:
.
Предел по распределению не единствен. Если распределения двух случайных величин идентичны, то они одновременно являются или не являются пределом по распределению последовательности случайных величин.
Свойства сходимости по распределению
Случайные величины сходятся по распределению к , если их функции распределения сходятся к функции распределения предела во всех точках непрерывности последней: