По национальности — Курд. Спортом Сулоев начал заниматься в 17 лет, а в 1997 году перешёл в кикбоксинг. С конца 1990-х выступал за анапский спортивный клуб «Легион» под руководством главного тренера клуба Андраника Ашугяна. В 1999 выиграл Кубок России по панкратиону, в 2000-м году в составе сборной России на чемпионате мира по вале-тудо в Бразилии завоевал один из трёх чемпионских поясов. Впоследствии перешёл в расположенный в Старом Осколе клуб «Red Devil Fighting Team», где тренировался с Фёдором Емельяненко. На профессиональной арене Сулоев провёл 31 бой, 24 из которых выиграл и 7 проиграл[1]. Половину побед (12) Амар одержал нокаутами, и треть — болевыми приёмами. 15 побед Амар одержал в первом раунде. Дважды выступал в турнире по боям без правил Ultimate Fighting Championship (UFC).
После завершения спортивной карьеры занялся предпринимательской деятельностью в Анапе. Открыл несколько кафе и агентство недвижимости. В 2013 году был арестован по делу кубанского предпринимателя и депутата Сергея Зиринова[2][3]. Сулоев подозревается в исполнении покушения на убийство казачьего атамана Анапы Николая Нестеренко и убийстве его водителя Виктора Жука. По версии обвинения, Амар Сулоев был водителем автомобиля, из которого стреляли в жертву. Показания против Амара Сулоева дал осужденный бывший спецназовец Дмитрий Сапожников, согласившийся после задержания на сделку со следствием. Спортсмен полностью отрицал свою вину[4].
В период пребывания в СИЗО бойцу стало плохо, в итоге после многочисленных анализов оказалось, что у Сулоева рак желудка четвёртой степени.[5]