Стандартное отображение (англ. Standard map), известное также как стандартное отображение Чирикова (англ. Chirikov standard map) и отображение Чирикова — Тейлора (англ. Chirikov-Taylor map) — нелинейное отображение (сохраняющее объём) для двух канонических переменных, ${\displaystyle (p,\;x)}$ (импульса и координаты). Отображение известно своими хаотическими свойствами, которые впервые были исследованы^[1] Борисом Чириковым в 1969 году.

Отображение задается такими итерационными уравнениями:

${\displaystyle {\begin{array}{lcr}{p}_{n+1}=p_{n}+K\sin x_{n},\\{x}_{n+1}=x_{n}+p_{n+1},\end{array}}}$

где параметр ${\displaystyle K}$ контролирует хаотичность системы.

Стандартное отображение описывает движение классического ротатора — фиксированного стержня, на который не действует сила тяжести и который вращается без трения в плоскости вокруг оси, проходящей через один из его концов. Ротатор также испытывает вызванные внешней силой периодические во времени (с периодом единица) удары бесконечно короткой продолжительности. Переменные ${\displaystyle x_{n}}$ и ${\displaystyle p_{n}}$ соответствуют углу поворота ротатора и его угловому моменту после ${\displaystyle n}$-го удара. Параметр ${\displaystyle K}$ описывает силу удара. Функция Гамильтона ротатора может быть записана так:

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2}}+K\delta _{Per}(t)\cos x,}$

где функция ${\displaystyle \delta _{Per}(t)}$ — периодическая функция с периодом 1, на одном периоде совпадает с δ-функцией Дирака. Из вышеприведенной функции Гамильтона элементарно получается стандартное отображение.

Для случая ${\displaystyle K=0}$ отображение является линейным, поэтому существуют лишь периодические и квазипериодические траектории. При ${\displaystyle K\neq 0}$ отображение становится нелинейным, согласно теореме КАМ, происходит разрушение инвариантных торов и движения стохастических слоев, в которых динамика является хаотической. Рост ${\displaystyle K}$ приводит к увеличению областей хаоса на фазовой плоскости ${\displaystyle (x,\;p)}$. Благодаря периодичности функции ${\displaystyle \sin(x)}$, динамику системы можно рассматривать на цилиндре [взяв ${\displaystyle x\;{\bmod {\;}}(2\pi )}$] или на торе [взяв ${\displaystyle (x,\;p)\;{\bmod {\;}}(2\pi )}$].

Стационарные точки отображения определяются из условия ${\displaystyle (x_{n},\;p_{n})=(x_{n+1},\;p_{n+1})}$. На интервале ${\displaystyle x\in [0,\;2\pi ]}$, ${\displaystyle p\in [0,\;2\pi ]}$ такими точками являются ${\displaystyle (0,\;0)}$ и ${\displaystyle (\pi ,\;0)}$ (вследствие симметричности фазовой плоскости системы ${\displaystyle (x_{n},\;p_{n})}$ при инверсии относительно точки ${\displaystyle (\pi ,\;\pi )}$ стационарные точки ${\displaystyle (0,\;\pi )}$ и ${\displaystyle (\pi ,\;\pi )}$ можно не рассматривать).

Анализ линейной устойчивости отображения сводится к анализу системы уравнений

${\displaystyle \left[{\begin{array}{c}\delta x_{n+1}\\\delta p_{n+1}\end{array}}\right]={\hat {M}}\left[{\begin{array}{c}\delta x_{n}\\\delta p_{n}\end{array}}\right],}$

${\displaystyle {\hat {M}}=\left[{\begin{array}{cc}1&1+K\cos x_{n}\\1&K\cos x_{n}\end{array}}\right].}$

Из условия ${\displaystyle \det |{\hat {M}}-\lambda {\hat {I}}|=0}$ можно определить собственные значения матрицы ${\displaystyle {\hat {M}}}$ для обоих стационарных точек [${\displaystyle (0,\;0)}$ и ${\displaystyle (\pi ,\;0)}$]:

${\displaystyle \lambda _{\pm }^{(0,\;0)}={\frac {2+K\pm {\sqrt {K^{2}+4K}}}{2}},}$

${\displaystyle \lambda _{\pm }^{(\pi ,\;0)}={\frac {2-K\pm {\sqrt {K^{2}-4K}}}{2}}.}$

Поскольку ${\displaystyle K>0}$, то отсюда следует неравенство ${\displaystyle \lambda _{+}^{(0,\;0)}>1}$. В то же время справедливо неравенство ${\displaystyle \lambda _{-}^{(0,\;0)}<\lambda _{+}^{(0,\;0)}<1}$ для произвольных ${\displaystyle K>0}$. Таким образом стационарная точка ${\displaystyle (0,\;0)}$ является неустойчивой гиперболической точкой. Стационарная точка ${\displaystyle (\pi ,\;0)}$ является устойчивой эллиптической точкой при ${\displaystyle 0\leqslant K<4}$, поскольку тогда ${\displaystyle \mathrm {Re} \left|\lambda _{\pm }^{(\pi ,\;0)}\right|=1}$. Для ${\displaystyle K\geqslant 4}$ стационарная точка ${\displaystyle (\pi ,\;0)}$ теряет устойчивость и становится гиперболической.

Ниже критического значения параметра, ${\displaystyle K<K_{c}}$ (рис. 1) инвариантные торы делят фазовое пространство системы так, что момент импульса ${\displaystyle p}$ является ограниченным — иными словами, диффузия ${\displaystyle p}$ в стохастическом слое не может выходить за границы, ограниченные инвариантными торами. «Золотой» инвариантный тор разрушается, когда число вращения достигает значения ${\displaystyle r_{g}=({\sqrt {5}}-1)/2}$, что соответствует критическому значению параметра ${\displaystyle K_{g}=0{,}971\ 635\ldots }$ (фазовое пространство системы для ${\displaystyle K=0{,}971\ 635}$ изображено на рис. 2). На данный момент строго не доказано, что ${\displaystyle K_{c}=K_{g}}$, однако численные расчеты показывают, что это скорее всего так. На сегодняшний день существует лишь строгое доказательство того, что при ${\displaystyle K>63/64=0{,}984\;375>K_{c}}$ наблюдается режим глобального хаоса, когда стохастическое море с отдельными островками устойчивости покрывает всё фазовое пространство (см. рис. 3). Инвариантных торов, ограничивающих эволюцию в фазовом пространстве, уже нет, и можно говорить о диффузии траектории в хаотическом море.

Энтропия Колмогорова — Синая стандартного отображения хорошо описывается соотношением ${\displaystyle h\approx \ln(K/2)}$ для значений контрольного параметра ${\displaystyle K>4}$^[2]

Переход на квантового стандартного отображения происходит заменой динамических переменных ${\displaystyle (p,\;x)}$ квантовомеханическими операторами ${\displaystyle ({\hat {p}},\;{\hat {x}})}$, которые удовлетворяют коммутационному соотношению ${\displaystyle [{\hat {p}},\;{\hat {x}}]=-i\hbar }$, где ${\displaystyle \hbar }$ — эффективная безразмерная постоянная Планка.

Основным свойством квантового отображения по сравнению с классическим является так называемое явление динамической локализации, заключающейся в подавлении хаотической диффузии за счёт квантовых эффектов^[3].

Много физических систем и явлений сводятся к стандартному отображению. Это, в частности,

• динамика частиц в ускорителях;
• динамика кометы в Солнечной системе;
• микроволновая ионизация ридберговских атомов и автоионизация молекулярных ридберговских состояний;
• электронный магнетотранспорт в резонансном туннельном диоде;
• удержание заряженных частиц в зеркальных магнитных ловушках.

Модель Френкеля — Конторовой следует выделить отдельно как первую модель, в которой уравнения стандартного отображения были записаны аналитически. Эта модель используется для описания динамики дислокаций, монослоев на поверхностях кристаллов, волн плотности заряда, сухого трения. Модель в стационарном случае задаёт связь между положениями взаимодействующих частиц (например, атомов) в поле пространственно-периодического потенциала. Функция Гамильтона одномерной цепочки атомов, взаимодействующих с ближайшими соседями через параболический потенциал взаимодействия и находящимися в поле косинусоидального потенциала, который описывает кристаллическую поверхность, имеет следующий вид:

${\displaystyle H=\sum _{n}\left({\frac {P_{n}^{2}}{2}}+{\frac {(x_{n+1}-x_{n})^{2}}{2}}-K\cos x_{n}\right),\quad P_{n}={\dot {x}}_{n}.}$

Здесь ${\displaystyle x_{n}}$ — отклонение атома от своего положения равновесия. В стационарном случае (${\displaystyle P_{n}\equiv 0}$) это приводит к следующему уравнению

${\displaystyle x_{n+1}-2x_{n}+x_{n-1}=K\sin x_{n},}$

которое заменой ${\displaystyle p_{n+1}=x_{n+1}-x_{n}}$ можно свести к обычной записи стандартного отображения.

• Стандартное отображение Чирикова на www.scholarpedia.org  (англ.).
• Weisstein, Eric W. Standard map (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Lichtenberg, A. J. and Lieberman, M. A. Regular and Chaotic Dynamics (неопр.). — Springer, Berlin, 1992..
• Ott, Edward. Chaos in Dynamical Systems (неопр.). — Cambridge University Press New, York, 2002..
• Sprott, Julien Clinton. Chaos and Time-Series Analysis (англ.). — Oxford University Press, 2003..
• Chirikov B. V. «Time-dependent quantum systems» in «Chaos and quantum mechanics» // Les Houches Lecture Series, Vol. 52, pp. 443—545, Eds. M.-J. Giannoni, A. Voros, J. Zinn-Justin, Elsevier Sci. Publ., Amsterdam (1991).