PROFILPELAJAR.COM

Спектра́льная пло́тность — базирующееся на преобразовании Фурье представление зависящих от времени сигналов (как детерминированных, так и случайных процессов) в виде спектров. Используется в статистической радиотехнике и физике.

Если процесс $x(t)$ имеет конечную энергию и квадратично интегрируем (а это нестационарный процесс), то для одной реализации процесса можно определить преобразование Фурье как случайную комплексную функцию частоты:

X(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-i2\pi ft}dt.

(1)

Однако она оказывается почти бесполезной для описания ансамбля. Выходом из этой ситуации является отбрасывание некоторых параметров спектра, а именно спектра фаз, и построении функции, характеризующей распределение энергии процесса по оси частот. Тогда согласно теореме Парсеваля энергия

E_{x}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}dt=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|X(f)|^{2}df.

(2)

Функция $S_{x}(f)=|X(f)|^{2}$ характеризует, таким образом, распределение энергии реализации по оси частот и называется спектральной плотностью реализации. Усреднив эту функцию по всем реализациям можно получить спектральную плотность процесса.

Перейдём теперь к стационарному в широком смысле центрированному случайному процессу $x(t)$ , реализации которого с вероятностью 1 имеют бесконечную энергию и, следовательно, не имеют преобразования Фурье. Спектральная плотность мощности такого процесса может быть найдена на основании теоремы Винера-Хинчина как преобразование Фурье от корреляционной функции:

S_{x}(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }k_{x}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau .

(3)

Если существует прямое преобразование, то существует и обратное преобразование Фурье, которое по известной $S_{x}(f)$ определяет $k_{x}(\tau )$ :

k_{x}(\tau )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }S_{x}(f)e^{i2\pi f\tau }df.

(4)

Если полагать в формулах (3) и (4) соответственно $f=0$ и $\tau =0$ , имеем

S_{x}(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }k_{x}(\tau )d\tau ,

(5)

\sigma _{x}^{2}=k_{x}(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }S_{x}(f)df.

(6)

Формула (6) с учётом (2) показывает, что дисперсия определяет полную энергию стационарного случайного процесса, которая равна площади под кривой спектральной плотности. Размерную величину $S_{x}(f)df$ можно трактовать как долю энергии, сосредоточенную в малом интервале частот от $f-df/2$ до $f+df/2$ . Если понимать под $x(t)$ случайный (флуктуационный) ток или напряжение, то величина $S_{x}(f)$ будет иметь размерность энергии [В²/Гц] = [В²с]. Поэтому $S_{x}(f)$ иногда называют энергетическим спектром. В литературе часто можно встретить другую интерпретацию: $\sigma _{x}^{2}$ – рассматривается как средняя мощность, выделяемая током или напряжением на сопротивлении 1 Ом. При этом величину $S_{x}(f)$ называют спектром мощности случайного процесса.

Свойства спектральной плотности

Энергетический спектр стационарного процесса (вещественного или комплексного) – неотрицательная величина:

S_{x}(f)\geq 0

.

(7)

Энергетический спектр вещественного стационарного в широком смысле случайного процесса есть действительная и чётная функция частоты:

S_{x}(-f)=S_{x}(f)

.

(8)

Корреляционная функция $k_{x}(\tau )$ и энергетический спектр $S_{x}(f)$ стационарного в широком смысле случайного процесса обладают всеми свойствами, характерными для пары взаимных преобразований Фурье. В частности, чем «шире» спектр $S_{x}(f)$ тем «уже» корреляционная функция $k_{x}(\tau )$ , и наоборот. Этот результат количественно выражается в виде принципа или соотношения неопределенности.

См. также

Литература

Зюко, А. Г., Кловский, Д. Д., Назаров, М. В., Финк, Л. М. Теория передачи сигналов. — М.: Связь, 1980. — 288 с.
Тихонов, В. И., Харисов, В. Н.. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. — М.: Радио и связь, 2004. — 608 с. — ISBN 5-256-01701-2.
Тихонов, В. И., Бакаев, Ю. Н.. Статистическая теория радиотехнических устройств. — М.: ВВИА им. проф. Н. Е. Жуковского, 1978. — 420 с.