Совершенная степень — положительное целое число ${\displaystyle n}$, являющееся целой степенью ${\displaystyle k}$ положительного целого числа ${\displaystyle m}$: ${\displaystyle n=m^{k}}$. При ${\displaystyle k=2,3}$ число ${\displaystyle n}$ называется соответственно совершенным (полным) квадратом и совершенным кубом. Иногда числа 0 и 1 также считаются совершенными степенями (так как ${\displaystyle 0^{k}=0}$ и ${\displaystyle 1^{k}=1}$ для любого ${\displaystyle k>0}$).

Последовательность совершенных степеней может быть сформирована путём перебора возможных значений для ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle k}$; первые несколько её членов (включая повторяющиеся)^[1]:

${\displaystyle 2^{2}=4,\ 2^{3}=8,\ 3^{2}=9,\ 2^{4}=16,\ 4^{2}=16,\ 5^{2}=25,\ 3^{3}=27,}$ ${\displaystyle 2^{5}=32,\ 6^{2}=36,\ 7^{2}=49,\ 2^{6}=64,\ 4^{3}=64,\ 8^{2}=64,\dots }$

Первые совершенные степени без дубликатов таковы^[2]:

(иногда 0 и 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, …

Сумма обратных совершенных степеней (включая дубликаты, такие как ${\displaystyle 3^{4}=9^{2}=81}$) равна 1:

${\displaystyle \sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=1}$,

что можно доказать следующим образом:

${\displaystyle \sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\left({\frac {m}{m-1}}\right)=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m(m-1)}}=\sum _{m=2}^{\infty }\left({\frac {1}{m-1}}-{\frac {1}{m}}\right)=1}$.

Сумма ряда обратных величин совершенных степеней (не включая единицу) без дубликатов равна^[3]:

${\displaystyle \sum _{i}{\frac {1}{n_{i}}}=\sum _{k=2}^{\infty }\mu (k)(1-\zeta (k))\approx 0{,}874464368\dots }$,

где ${\displaystyle \mu (k)}$ — функция Мёбиуса, а ${\displaystyle \zeta (k)}$ — дзета-функция Римана.

Согласно Эйлеру, в одном из утерянных писем Гольдбах показал, что сумма чисел, обратных ${\displaystyle n_{i}-1}$ из последовательности совершенных степеней ${\displaystyle \{n_{i}\}}$ без единицы и дубликатов равна 1:

${\displaystyle \sum _{i}{\frac {1}{n_{i}-1}}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}}+\cdots =1}$,

иногда это утверждение называется теоремой Гольдбаха — Эйлера.

В 2002 году Преда Михэйлеску^[рум.] доказал, что единственная пара последовательных совершенных степеней — это ${\displaystyle 2^{3}=8,3^{2}=9}$, тем самым доказав гипотезу Каталана.

Нерешённая проблема — гипотеза Пиллаи, согласно которой для любого заданного положительного целого числа ${\displaystyle k}$ существует только конечное число пар совершенных степеней, разность которых равна ${\displaystyle k}$.

Выявление того, является ли данное натуральное число ${\displaystyle n}$ совершенной степенью, может быть выполнено множеством различных способов с различными уровнями сложности. Один из простейших таких методов — рассмотреть все возможные значения для ${\displaystyle k}$ по каждому из делителей числа ${\displaystyle n}$ вплоть до ${\displaystyle k<n}$. Если делители ${\displaystyle n}$ равны ${\displaystyle n_{1},n_{2},\dots ,n_{j}}$, тогда одно из значений ${\displaystyle n_{1}^{2},n_{2}^{2},\dots ,n_{j}^{2},n_{1}^{3},n_{2}^{3},\dots }$ должно быть равно ${\displaystyle n}$, если ${\displaystyle n}$ действительно является совершенной степенью.

Этот метод можно сразу упростить, вместо этого рассматривая только простые значения ${\displaystyle k}$, поскольку для составного ${\displaystyle k=ap}$, где ${\displaystyle p}$ — простое число, ${\displaystyle n=m^{k}}$ может быть переписано как ${\displaystyle n=m^{k}=m^{ap}=(m^{a})^{p}}$. Из-за этого следует, что минимальное значение ${\displaystyle k}$ обязательно должно быть простым.

Если известна полная факторизация ${\displaystyle n}$, например, ${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}}$, где ${\displaystyle p_{i}}$ — различные простые числа, то ${\displaystyle n}$ — совершенная степень тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \gcd(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{r})>1}$ (${\displaystyle \gcd }$ — наибольший общий делитель). Например, для ${\displaystyle n=2^{96}3^{60}5^{24}}$: поскольку ${\displaystyle \gcd(96,60,24)=12}$, ${\displaystyle n}$ — это совершенная 12-я степень (и совершенная 6-я степень, 4-я степень, куб и квадрат, поскольку 6, 4, 3 и 2 делят 12).

• Lluís Bibiloni, Pelegrí Viader, and Jaume Paradís, On a Series of Goldbach and Euler, 2004 (Pdf)