Другое значение этого термина: группа, совпадающая со своим коммутантом

Совершенная группа^[1] ― группа ${\displaystyle G}$, такая что отображение ${\displaystyle G\to Aut(G)}$ является изоморфизмом. Это отображение посылает элемент ${\displaystyle g\in G}$ в автоморфизм сопряжения ${\displaystyle s_{g}:h\to ghg^{-1}}$. Инъективность этого отображения равносильна тривиальности центра, а сюръективность — тому, что каждый автоморфизм является внутренним.

Примерами являются симметрические группы ${\displaystyle S_{n}}$ при ${\displaystyle n\neq 2,6}$ (теорема Гёльдера); при этом группа ${\displaystyle S_{2}=\mathbb {Z} _{2}}$ имеет нетривиальный центр, а у группы ${\displaystyle S_{6}}$ существует внешний автоморфизм^[англ.].

Автоморфизмы простой группы образуют почти простую группу, а автоморфизмы неабелевой простой группы — совершенную группу.

Не любая группа, изоморфная своей группе автоморфизмов, является совершенной — необходимо, чтобы изоморфизм осуществлялся отображением сопряжения. Примером группы, для которой ${\displaystyle G=Aut(G)}$, но которая не является совершенной, является группа диэдра ${\displaystyle D_{4}}$^[2].

• Robinson, Derek John Scott (1996), A course in the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6
• Rotman, Joseph J. (1994), An introduction to the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94285-8 (chapter 7, in particular theorems 7.15 and 7.17).

• Joel David Hamkins^[англ.]: How tall is the automorphism tower of a group?

В другом языковом разделе есть более полная статья Complete group (англ.). Вы можете помочь проекту, расширив текущую статью с помощью перевода