Эту статью необходимо исправить в соответствии с правилом Википедии об оформлении статей. Пожалуйста, помогите улучшить эту статью.

Случайное компактное множество — случайная величина со значениями в компактных множествах. Случайные компактные множества используются при изучении аттракторов случайных динамических систем.

Пусть ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ — множество всех компактных подмножеств ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. На ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ можно определить метрику Хаусдорфа ${\displaystyle h}$:

${\displaystyle h(K_{1},K_{2})=\inf \left\{\varepsilon >0:K_{1}\subseteq K_{2}\bigoplus B(0,\varepsilon ),K_{2}\subseteq K_{1}\bigoplus B(0,\varepsilon )\right\}.}$

С такой метрикой ${\displaystyle h}$ множество ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ становится полным сепарабельным метрическим пространством. Соответствующие открытые подмножества порождают борелевскую ${\displaystyle \sigma }$-алгебру ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{K}}$ множества ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$.

Тогда случайное компактное множество — это измеримая функция из некоторого вероятностного пространства ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbf {P} )}$ в измеримое пространство ${\displaystyle ({\mathcal {K}},{\mathfrak {B}}_{K})}$. Случайные компактные множества в этом смысле — то же, что случайные замкнутые множества у Матерона^[1]. Следовательно, их распределение задается вероятностями

${\displaystyle \mathbf {P} (X\cap K=\emptyset ),\ \ \ K\in {\mathcal {K}}.}$

Распределение случайного компактного выпуклого множества также задается системой всех вероятностей включения ${\displaystyle \mathbf {P} (X\subset K).}$

• Для ${\displaystyle K=\{x\}}$ определена вероятность ${\displaystyle \mathbf {P} (x\in X)}$, которая удовлетворяет соотношению ${\displaystyle \mathbf {P} (x\in X)=1-\mathbf {P} (x\not \in X).}$ Тогда можно задать функцию покрытия ${\displaystyle p_{X}}$ формулой ${\displaystyle p_{X}(x)=\mathbf {P} (x\in X),\;x\in \mathbb {R} ^{2}.}$ Функция покрытия принимает значения между ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle 1}$ и может интерпретироваться как математическое ожидание индикаторной функции ${\displaystyle \mathbf {1} _{X}(x):}$ ${\displaystyle p_{X}(x)=\mathbf {E} \mathbf {1} _{X}(x).}$
• Множество ${\displaystyle b_{X}}$ всех ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{2}}$ с ${\displaystyle p_{X}(x)>0}$ называется базой ${\displaystyle X.}$
• Множество ${\displaystyle k_{X}}$ всех ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{2}}$ с ${\displaystyle p_{X}(x)=1}$ называется ядром, множеством фиксированных точек, или существенным минимумом ${\displaystyle e(X)}$. Если ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$ — это последовательность независимых одинаково распределенных случайных компактных множеств, то почти наверное ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}=e(X)}$ и ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}}$ сходится почти наверное к ${\displaystyle e(X).}$

• Матерон Ж. (1978) Случайные множества и интеrральная геометрия, пер. с англ., М.: Мир.
• Stoyan D., and H.Stoyan (1994) Fractals, Random Shapes and Point Fields. John Wiley & Sons, Chichester, New York.

В статье есть список источников, но не хватает сносок. Без сносок сложно определить, из какого источника взято каждое отдельное утверждение. Вы можете улучшить статью, проставив сноски на источники, подтверждающие информацию. Сведения без сносок могут быть удалены. (30 июня 2021)