Представитель польского шляхетского рода герба Тшаска.
Карьеру начал в должности секретаря при князе Станиславе Любомирском. Позже Л. Свейковский стал одним из четырёх официальных опекунов детей князя.
Находясь на службе у князя занимался скупкой и освобождением от долгов имений, принадлежавших его работодателям. Обладая деловой хваткой, со временем и сам стал крупным землевладельцем. Так, во второй половине XVIII века Свейковский выкупил у Любомирских местечко Шпиков, ставшее одним из его первых приобретений. Через 25 лет у Мартина-Леонарда Свейковского было уже около 30 таких поместий, купленных не только у Любомирских и приведённых в образцовый порядок.
Все приобретения сопровождались многочисленными судебными процессами, но Свейковский их, в основном, выигрывал, чему способствовал его юридический и судебный опыт: в 1772 году он служил судьей в Брацлаве.
