PROFILPELAJAR.COM

Удвоение Уайтхеда восьмёрки — пример сателлитного узла.

Сателлитный узел — конструкция, позволяющая построить новый узел из двух узлов с определёнными дополнительными структурами. Эта конструкция включает связную сумму узлов а также удвоение Уайтхеда как частные случаи.

Построение

Сателлитный узел $K$ можно описать следующим образом: начните с нетривиального узла $K'$ , лежащего внутри незаузленного полнотория $V$ . «Нетривиальный» означает, что $K'$ не может лежать в шаре, вложенном в $V$ , и не изотопен центральной кривой полнотория. Затем завязать полноторие в нетривиальный узел. То есть применить нетривиальное вложение $f\colon V\to \mathbb {S} ^{3}$ , такое, что и $K=f(K')$ . При этом образ центральной кривой полнотория $V$ называется компаньёном $K$ .

Обычно дополнительно предполагают, что вложение $f\colon V\to \mathbb {S} ^{3}$ раскрученно, то есть $f$ не меняют индекс зацепления двух окружностей в $V$ .

История

В 1949 году Хорст Шуберт^[англ.] доказал^[1], что каждый ориентированный узел в $\mathbb {S} ^{3}$ разлагается в связную сумму узлов и это разложение единственно с точностью до перестановки. Вскоре после этого, он понял, что может дать новое доказательство этой теоремы анализируя несжимаемые торы, в дополнении к связной сумме. Это привело его к исследованию общих несжимаемых торов в дополнении узла, и к определению сателлитного узла^[2]

См. также

Примечания

↑ Schubert, H. Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens in Primknoten. S.-B Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl. 1949 (1949), 57-104.
↑ Schubert, H. Knoten und Vollringe. Acta Math. 90 (1953), 131—286.