В 1910 году в возрасте 18 лет окончил Петербургскую консерваторию с золотой медалью, после чего отправляется в турне по Европе, посещает Польшу, Францию и Англию. В 1911 году возвращается в Россию.
После революции остаётся без работы. В 1925 году азербайджанский композитор Узеир Гаджибеков приглашает его в Баку. С 1925 по 1931 год Ростропович — профессор Азербайджанской консерватории. Проводил у себя на квартире репетиции струнного квартета, созданного из профессионалов-исполнителей — преподавателей Азербайджанской государственной консерватории (Ю. Эйдлин, Н. Цимберов, В. Адамский), и сам играл в его составе. Это был первый струнный квартет в истории азербайджанского музыкального искусства.
Осенью 1931 года вместе с семьёй переехал в Москву, где давал концерты и одновременно преподавал в школе имени Гнесиных. В 1935 году ему было присвоено звание Заслуженного артиста РСФСР.
В начале Великой Отечественной войны семья эвакуировалась в Оренбург, где Ростропович преподавал в музыкальном училище и подрабатывал игрой в кинотеатре. 31 июля 1942 года умер от сердечного приступа[1].
Семья
Был женат на Софье Николаевне Федотовой (1891—1971) — профессиональной пианистке, происходившей из оренбургской музыкальной семьи[2].
По другим сведениям, Софья Николаевна родилась в 1889 году, отец Софьи Николаевны учитель пения Второго оренбургского кадетского корпуса Николай Александрович, мать Ольга Сергеевна. Брак Софьи Николаевны и Леопольда Витольдовича был заключён в Оренбурге зимой 1922 года[3].
Дочь — Вероника Леопольдовна Ростропович (1925—2006).