Псевдосфера

Псевдосфе́ра (или поверхность Бельтра́ми) — поверхность постоянной отрицательной кривизны, образуемая вращением трактрисы около её асимптоты. Название подчёркивает сходство и различие со сферой, которая является примером поверхности с кривизной, также постоянной, но положительной.

История

Впервые исследована Миндингом в 1839—1840 годах. В частности, им было показано, что понятия группы движений и конгруэнтных фигур имеют смысл лишь на поверхностях постоянной кривизны. Название «псевдосфера» поверхности дал Бельтрами. Он же обратил внимание на то, что псевдосфера реализует локальную модель геометрии Лобачевского, наряду с проективной моделью и конформно-евклидовой моделью.

Характеристики

Если трактрису задать в плоскости Oxz параметрическими уравнениями

x=a\sin u

y=0

z=a\left(\ln \operatorname {tg} {\frac {u}{2}}+\cos u\right),\quad 0\leq u\leq {\frac {\pi }{2}}

то параметрическими уравнениями псевдосферы будут

x=a\sin u\cos v

y=a\sin u\sin v

z=a\left(\ln \operatorname {tg} {\frac {u}{2}}+\cos u\right)

0\leq u\leq {\frac {\pi }{2}},\ 0\leq v\leq 2\pi

Первая квадратичная форма:

ds^{2}=a^{2}\operatorname {ctg} ^{2}u\,du^{2}+a^{2}\sin ^{2}u\,dv^{2}

Вторая квадратичная форма:

\phi _{2}=a(-\operatorname {ctg} u\,du^{2}+\sin u\cos u\,dv^{2})

Гауссова кривизна псевдосферы постоянна, отрицательна и равна −1/a².

Площадь обоих раструбов псевдосферы совпадает с площадью сферы ( $4\pi a^{2}$ ), объём — половина от объёма шара ( ${\tfrac {2}{3}}\pi a^{3}$ ).

Вариации и обобщения

Поверхность Дини — похожий пример поверхности постоянной отрицательной кривизны. Она даёт изометрическое погружение области плоскости Лобачевского, ограниченной орициклом.

Источники

В Викисловаре есть статья «псевдосфера»

Псевдосфера. — Прикладная математика
Псевдосфера // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

Литература

Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, М., 1990. ISBN 978-5-9775-0419-5.
Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — УРСС, М., 2007. ISBN 978-5-484-00871-1.
Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии, — Факториал, М., 2000.
Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны, — Наука, М., 1982.

Read other articles:

Daftar negara bagian dan teritori di Amerika Serikat

Peta Amerika Serikat yang menunjukkan 50 negara bagiannya beserta Distrik Columbia Amerika Serikat adalah sebuah republik federal[1] yang terdiri dari 50 negara bagian, sebuah distrik federal, lima teritorial besar, dan berbagai kepulauan kecil.[2][3] 48 negara bagian di daratan utama dan Distrik Columbia, berada di tengah Amerika Utara antara Kanada dan Meksiko; dua negara bagian lainnya, Alaska dan Hawaii, masing-masing berada di bagian barat laut Amerika Utara dan s...

Guillaume III dari Aquitaine

Guillaume III, Adipati AquitainePasanganAdèle dari Normandia (Wafat 962)Keluarga bangsawanWangsa PoitiersBapakEbles ManzerIbuAdèleLahir915PoitiersMeninggal3 April 963Saint-Maixent-l'École Guillaume III (915 – 3 April 963), disebut si Rambut Kuning (Prancis: Tête d'étoupecode: fr is deprecated , Latin: Caput Stupecode: la is deprecated ) dari warna rambutnya, merupakan seorang Comte Aquitaine dari tahun 959 dan Adipati Aquitaine dari tahun 962 sampai kematiannya. Ia juga merupakan Comte...

Sandalwood

Class of woods from trees in the genus Santalum For Sandalwood, the Kannada Film Industry, see Kannada cinema. Santalum paniculatum (ʻiliahi), Hawaiʻi Sandalwood is a class of woods from trees in the genus Santalum. The woods are heavy, yellow, and fine-grained, and, unlike many other aromatic woods, they retain their fragrance for decades. Sandalwood oil is extracted from the woods. Sandalwood is often cited as one of the most expensive woods in the world. Both the wood and the oil produce...

Marek Belka

11th Prime minister of Poland His ExcellencyMarek BelkaMEPPrime Minister of PolandIn office2 May 2004 – 31 October 2005PresidentAleksander KwaśniewskiDeputyJerzy HausnerIzabela Jaruga-NowackaPreceded byLeszek MillerSucceeded byKazimierz MarcinkiewiczPresident of the National Bank of PolandIn office11 June 2010 – 20 June 2016Appointed byBronisław KomorowskiPreceded byPiotr Wiesiołek (Acting)Succeeded byAdam GlapińskiMember of the European ParliamentIncumbentAssumed of...

Ethical Culture Fieldston School

Ethical Culture Fieldston SchoolInformasiDidirikan1878JenisSwastaAkreditasiAsosiasi Sekolah Independen Nasional (NAIS)MaskotElangKepala SekolahJoe AlgrantRentang kelasPra-TK hingga SMAJumlah siswaKira-kira 1.600AlamatLokasi33 Central Park West, Kota New York, New York, Amerika SerikatKoordinat40°53′21″N 73°54′23″W / 40.88917°N 73.90639°W / 40.88917; -73.90639Koordinat: 40°53′21″N 73°54′23″W / 40.88917°N 73.90639°W࿯...

List of Catholic charities in the Roman Catholic Archdiocese of New York

The Archdiocese of New York covers New York, Bronx, and Richmond Counties in New York City (coterminous with the boroughs of Manhattan, the Bronx, and Staten Island, respectively), as well as Dutchess, Orange, Putnam, Rockland, Sullivan, Ulster, and Westchester counties in New York state. It is home to over 100 charitable organizations, run by many different religious orders, as well as by Catholic Charities of the archdiocese. This list is incomplete; you can help by adding missing items. (...

Connaissance

La chouette d'Athéna, symbole de connaissance dans le monde occidental La connaissance est une notion aux sens multiples, à la fois utilisée dans le langage courant et objet d'étude poussée de la part des sciences cognitives et des philosophes contemporains. Les connaissances, leur nature et leur variété, la façon dont elles sont acquises, leur processus d'acquisition, leur valeur et leur rôle dans les sociétés humaines, sont étudiés par une diversité de disciplines, notamment l...

Conseil de défense et de sécurité nationale

Conseil de défense et de sécurité nationaleHistoireFondation 24 décembre 2009CadreZone d'activité FranceType Conseil des ministres restreintSiège ParisPays FranceOrganisationSecrétaire général Secrétariat général de la Défense et de la Sécurité nationaleSite web www.elysee.fr/la-presidence/le-conseil-de-defense-et-de-securite-nationalemodifier - modifier le code - modifier Wikidata Le Conseil de défense et de sécurité nationale (CDSN) français est un Conseil des minis...

Associazione Del Calcio Di Vicenza 1919-1920

Voce principale: Vicenza Calcio. Associazione del Calcio in VicenzaStagione 1919-1920Sport calcio SquadraVicenza Calcio Allenatore Giulio Fasolo (coadiuvato da Aldo Casalini e Pio Scala) Presidente Giacomo Sartea Prima Categoria4º posto nel girone eliminatorio Veneto. 1914-1915 1920-1921 Si invita a seguire il modello di voce Questa voce raccoglie le informazioni riguardanti l''Associazione del Calcio in Vicenza nelle competizioni ufficiali della stagione 1919-1920. Indice 1 Stagione 2 Rosa...

Prima Categoria 1909-1910

Prima Categoria 1909-1910 Competizione Prima Categoria Sport Calcio Edizione 13ª Organizzatore FIGC Date dal 7 novembre 1909al 29 maggio 1910 Luogo Italia Partecipanti 9 Formula girone unico Risultati Vincitore Inter(1º titolo) Secondo Pro Vercelli Terzo Juventus Statistiche Incontri disputati 73 Gol segnati 313 (4,29 per incontro) La rosa del primo scudetto nerazzurro Cronologia della competizione 1909 1910-1911 Manuale La Prima Categoria 1909-1910 è stata la 13ª ediz...

Keuskupan Tivoli

Keuskupan TivoliDioecesis TiburtinaKatolik Katedral TivoliLokasiNegaraItaliaProvinsi gerejawiSubyek langsung Tahta SuciStatistikLuas892 km2 (344 sq mi)Populasi- Total- Katolik(per 2014)185.900 (perkiraan)178,400 (perkiraan) (96%)Paroki84Imam90 (diosesan)32 (Ordo Relijius)InformasiDenominasiGereja KatolikRitusRitus RomaPendirianAbad ke-2KatedralKatedral TivoliKepemimpinan kiniPausFransiskusUskupMauro ParmeggianiSitus webwww.diocesitivoli.it Keuskupan Tivoli (...

美国众议院

此條目需要补充更多来源。 (2021年7月4日)请协助補充多方面可靠来源以改善这篇条目，无法查证的内容可能會因為异议提出而被移除。致使用者：请搜索一下条目的标题（来源搜索：美国众议院 — 网页、新闻、书籍、学术、图像），以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源（判定指引）。美國眾議院 United States House of Representatives第118届美国国会众议院徽章众议院旗...

نيجيريا

نيجيريا جمهورية نيجيريا الاتحادية نيجيرياعلم نيجيريا نيجيرياشعار نيجيريا Show globeShow map of Africa الشعار الوطنيوحدة وإيمان، سلام وتقدم النشيد: انهضوا أيها الوطنيون الأرض والسكان إحداثيات 9°4′N 7°29′E / 9.067°N 7.483°E / 9.067; 7.483 أعلى قمة جبل شابال وادي (2,419 متر) أخفض ...

ヨハネス12世 (ローマ教皇)

ヨハネス12世第130代ローマ教皇教皇就任 955年12月16日教皇離任 964年5月14日先代アガペトゥス2世次代レオ8世個人情報出生 937年スポレート公国（中部イタリア）スポレート死去 964年5月14日教皇領、ローマ原国籍スポレート公国親父アルベリーコ2世（スポレート公）、母アルダその他のヨハネステンプレートを表示ヨハネス12世（Ioannes XII、937年 - 964年5月14日）は、ロ...

哈萨克斯坦总统

此条目序言章节没有充分总结全文内容要点。 (2019年3月21日)请考虑扩充序言，清晰概述条目所有重點。请在条目的讨论页讨论此问题。哈萨克斯坦總統哈薩克總統旗現任Қасым-Жомарт Кемелұлы Тоқаев卡瑟姆若马尔特·托卡耶夫自2019年3月20日在任任期7年首任努尔苏丹·纳扎尔巴耶夫设立1990年4月24日（哈薩克蘇維埃社會主義共和國總統）哈萨克斯坦哈萨克斯坦政府...

Daftar film yang dirilis oleh Yash Raj Films

Yash Chopra, penemu dari Yash Raj Films (YRF), dipotret pada tahun 2012. Ia telah menyutradarai 13 film untuk perusahaan ini antara tahun 1973 sampai 2012. Yash Raj Films (disingkat sebagai YRF), adalah sebuah perusahaan hiburan India yang didirikan oleh Yash Chopra pada tahun 1970, yang memproduksi dan mendistribusikan film.[1][2] Pada 2019, perusahaan ini telah memproduksi 78 film berbahasa Hindi termasuk tiga film yang belum dirilis, dan satu film berbahasa Tamil. Yash Raj ...

Tyrconnell

400s–1607 kingdom of Gaelic Ireland For other uses, see Tyrconnell (disambiguation). This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (June 2021) (Learn how and when to remove this message) TyrconnellTír Chonaill (Irish)5th century–1607 Coat of arms Tyrconnell in the early 16th centuryStatusTúatha of Ailech (until 1185)CapitalKilmacrennan (royal inau...

Walter Van Tilburg Clark

Novelist, short story writer, educator Walter Van Tilburg ClarkBorn(1909-08-03)August 3, 1909East Orland, Maine, USDiedNovember 10, 1971(1971-11-10) (aged 62)Virginia City, Nevada, USOccupationWriter, college teacherEducationUniversity of Nevada, Reno (BA, MA)GenresNovel, short storyYears active1932–1971Notable worksThe Ox-Bow Incident, The Watchful Gods and Other StoriesNotable awardsO. Henry Prize, Nevada Writer's Hall of FameSpouseBarbara Frances Morse (d. 1969)Children2[1&...

قصر المعارض بالكرم

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (ديسمبر 2018) قصر المعارض بالكرم 2023 صالون الابتكارللصناعات التقليدية قصر المعارض بالكرم Parc des expositions du Kramمعلومات عامةن...

Diamond Foods

U.S. food company This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Diamond Foods – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (February 2012) (Learn how and when to remove this message) Diamond Foods, Inc.Company typePublic companyTraded asNasdaq: DMNDIndustryConsumer packaged goodsFounded1912; ...

(S)-corytuberine synthase

Ravager (DC Comics)

Fisher & Paykel

Baldwin II, Latin Emperor

Impol, Jemaja Barat, Kepulauan Anambas

Muhammad Yaqoob Nadeem Sethi

Anarchism and the arts

Reasuransi