Псевдогруппа преобразований гладкого многообразия —
семейство диффеоморфизмов открытых подмножеств многообразия в , замкнутое относительно композиции отображений, перехода к обратному отображению, а также сужения и склейки отображений.
Точное определение
Псевдогруппа преобразований многообразия
состоит из локальных преобразований, то есть пар вида , где — открытое подмножество в , а — диффеоморфизм , причём предполагается, что
- ,
- если — диффеоморфизм открытого подмножества в и , где — открытые подмножества в , то для любого .
Примеры
- Произвольное гладкое действие группы на многообразии.
- Пусть гладкое многообразие и на котором гладко действует группа тогда «сужение» действия на произвольное открытое множество является псевдогруппой преобразований. Точнее содержится в псевдогруппе если и .
Связанные определения
Так же, как группа преобразований, псевдогруппа преобразований определяет на отношение эквивалентности; классы эквивалентности называются её орбитами.
Типы псевдогрупп
Псевдогруппа преобразований многообразия называется
- транзитивной, если — её единственная орбита,
- примитивной, если в нет нетривиальных гладких -инвариантных слоений (в противном случае псевдогруппа преобразований называется импримитивной).
Вариации и обобщения
Видоизменяя должным образом это определение, можно определить псевдогруппу преобразований произвольного топологического пространства или даже произвольного множества.
Литература
- Виноградов И.М. (ред.) — Математическая энциклопедия. Том 4. — М.: Сов. энциклопедия, 1977 — с. 730-732.