PROFILPELAJAR.COM

Пространство Урысона — метрическое пространство, универсальное в определённом смысле. Обычно обозначается $\mathbb {U}$ .

Определение

Пространство Урысона — полное сепарабельное метрическое пространство $\mathbb {U}$ , обладающее следующими двумя свойствами:

Универсальность: любое конечное метрическое пространство изометрично некоторому подмножеству $\mathbb {U}$ .
Конечная однородность: для любых двух конечных изометричных его подмножеств $Y_{1},Y_{2}\subset \mathbb {U}$ любая изометрия между ними продолжается до глобальной изометрии $\mathbb {U}$ .

Замечание

Эквивалентно, пространство Урысона можно определить как полное сепарабельное метрическое пространство $\mathbb {U}$ , обладающее свойством продолжения; то есть любое изометрическое отображение $A\to \mathbb {U}$ из подмножества $A$ конечного метрического пространства $F$ можно продолжить до изометрического отображения $F\to \mathbb {U}$ .

Свойства

Пространство Урысона $\mathbb {U}$ существует и единственно с точностью до изометрии.

Пространство Урысона $\mathbb {U}$ является компактно однородным. То есть любое изометрическое отображение компактного подмножества $K\subset \mathbb {U}$ в $U$ можно продолжить до изометрии $\mathbb {U}$ .

Пространство Урысона $\mathbb {U}$ гомеоморфно произведению счётного числа вещественных прямых.^[1]

При некоторой естественной процедуре порождения случайного полного сепарабельного метрического пространства получающееся пространство почти наверное оказывается изометричным пространству Урысона.
- Это свойство аналогично основному свойству графу Радо — Эрдеша — Реньи.

История

Морис Фреше доказал, что пространство $\ell ^{\infty }$ универсально, то есть включает в себя изометрическую копию любого сепарабельного метрического пространства. Однако, в отличие от пространстве Урысона, $\ell ^{\infty }$ не является ни конечно-однородным, ни сепарабельным. Он поставил вопрос о существовании сепарабельного пространства, обладающего этим свойством. Такое пространство было построено Павлом Самуиловичем Урысоном.^[2]

На поставленный Урысоном вопрос о существовании неполного универсального конечно-однородного пространства дал положительный ответ Мирослав Катетов.^[3] В той же статье дано слегка упрощённое построение пространства Урысона.

Примечания

↑ V. Uspenskij. “The Urysohn universal metric space is homeomorphic to a Hilbert space”. Topology Appl. 139.1-3 (2004), 145–149.
↑
- «Sur un espace metrique universel» Comptes Rendus Acad, Paris, 180 (1925), стр. 803 (краткое сообщение)
- «Sur un espace metrique universel» Bull, de Sciences Mathematiques, 2-я серия, т. 51, стр. 1—38.
  - Перевод: Урысон, П. С. "Об универсальном метрическом пространстве." ПС Урысон. Труды по топологии и другим областям математики. М: 747—777.
↑ M. Katětov. “On universal metric spaces”. General topology and its relations to modern analysis and algebra, VI (Prague, 1986). Vol. 16. Res. Exp. Math. Heldermann, Berlin, 1988, 323–330.