1. Пусть выполняется неравенство:

${\displaystyle {\frac {e^{x}\cdot f(e^{x})}{f(x)}}\leqslant \lambda .}$

Домножим обе части этого неравенства на ${\displaystyle f(x)}$ и проинтегрируем, используя подстановку ${\displaystyle t=e^{u}}$:

${\displaystyle \int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\,dt=\int \limits _{x_{0}}^{x}f(e^{u})\cdot e^{u}\,du\leqslant \lambda \int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt,}$

отсюда

${\displaystyle (1-\lambda )\int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\,dt\leqslant \lambda \left(\int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt-\int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\,dt\right)\leqslant \lambda \left(\int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\,dt-\int \limits _{x}^{e^{x}}f(t)\,dt\right)\leqslant \lambda \int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\,dt,}$

так как ${\displaystyle e^{x}>x}$, вычитаемое в последних скобках положительно. Поэтому, разделив неравенство на ${\displaystyle 1-\lambda }$, получим:

${\displaystyle \int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\,dt\leqslant {\frac {\lambda }{(1-\lambda )}}\int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\,dt.}$

Прибавив к обеим частям интеграл ${\displaystyle \int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}\,f(t)dt}$, получим

${\displaystyle \int \limits _{x_{0}}^{e^{x}}f(t)\,dt\leqslant {\frac {1}{(1-\lambda )}}\int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\,dt=L.}$

Учитывая, что ${\displaystyle e^{x}>x}$, при ${\displaystyle x\geqslant x_{0}}$

${\displaystyle \int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt\leqslant L.}$

Поскольку с возрастанием ${\displaystyle x}$ и интеграл возрастает, то для него существует конечный предел при ${\displaystyle x\to \infty }$:

${\displaystyle \int \limits _{x_{0}}^{\infty }f(t)\,dt\leqslant L.}$

Так как этот интеграл сходится, то согласно интегральному признаку Коши — Маклорена ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$ также сходится.

2. Пусть теперь имеет место неравенство:

${\displaystyle {\frac {e^{x}\cdot f(e^{x})}{f(x)}}\geqslant 1.}$

Домножив обе части этого неравенства на ${\displaystyle f(x)}$ и проинтегрировав, используя в левой части подстановку ${\displaystyle t=e^{u}}$, получим:

${\displaystyle \int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\,dt\geqslant \int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt.}$

Прибавим к обеим частям интеграл ${\displaystyle \int \limits _{x}^{e^{x_{0}}}f(t)\,dt}$:

${\displaystyle \int \limits _{x}^{e^{x}}f(t)\,dt\geqslant \int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\,dt=\gamma .}$

Поскольку ${\displaystyle x_{0}<e^{x_{0}}}$, то ${\displaystyle \gamma >0}$. Определим теперь последовательность ${\displaystyle \{x_{i}\}}$ следующим образом:

${\displaystyle x_{i}=e^{x_{i-1}},\;\;i=0,\;1,\;\ldots ,\;n,\;\ldots }$

Используя эту последовательность последнее неравенство можно записать в виде:

${\displaystyle \int \limits _{x_{i-1}}^{x_{i}}f(t)\,dt\geqslant \gamma .}$

Суммируем этот интеграл по ${\displaystyle i=0,\;1,\;\ldots ,\;n}$:

${\displaystyle \int \limits _{x_{0}}^{x_{n}}f(t)\,dt=\sum _{i=1}^{n}\int \limits _{x_{i-1}}^{x_{i}}f(t)\,dt\geqslant n\gamma ,}$

то есть этот интеграл неограничен при ${\displaystyle n\to \infty }$. Поэтому:

${\displaystyle \int \limits _{x_{0}}^{\infty }f(t)\,dt=\lim _{x\to \infty }\int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt=+\infty .}$

Так как этот интеграл расходится, то согласно интегральному признаку Коши — Маклорена ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$ также расходится. ■