Существует несколько версий значения слова Кузька, некоторые из них[1]:
Кузьма в русских пословицах и поговорках представлен как злой, мстительный и драчливый персонаж. Он мог быть приёмным сыном женщины, обладающей крутым нравом.
Кузьма, кузька — название плётки как орудия домашнего наказания.
Кузька — жук-вредитель хлебных злаков. Отсюда фраза Подпустить кому-либо кузьку, то есть «доставить неприятность». Кузькина мать представляется как ещё более опасное чем кузька существо (связь со словом матёрый, то есть опытный, сильный).
Как-то едем мы в машине по Лос-Анджелесу. В машине, кроме нас, представитель городской власти и Каббот Лодж. Хрущёв смотрит в окно. Стоят красивые дома, у каждого дома — машина, а то и несколько. Смотрит Хрущёв, смотрит, а потом и говорит: "Ну что ж, Америка достигла многого. Ну ничего, мы вам покажем кузькину мать". Я уже начинаю переводить, как вдруг Хрущёв меня перебивает: "Когда я с Никсоном на выставке был, это неправильно перевели. А это же очень просто: 'Мы вам покажем такое, чего вы никогда не видели'". Я на секунду замер: ни в одном словаре этого выражения в таком толковании я не видел. Короче, "мы вас догоним и перегоним, и мы вам ещё покажем такое, чего вы никогда не видели". Типичный пример того, что у разных деятелей свои трактовки известных слов и выражений.переводчик Хрущёва Виктор Суходрев
Бирих А. К., Мокиенко В. М., Степанова Л. И.Мать // Словарь русской фразеологии. Историко-этимологический справочник. — СПб.: Фолио-Пресс, 1998. — С. 368—369. — 704 с.