Поверхность Макбита

Поверхность Макбита, кривая Макбита или кривая Фрикке — Макбита[1], — это поверхность Гурвица рода 7.

Свойства

Построение треугольной группы

Фуксову группу поверхности можно построить как главную конгруэнц-подгруппу треугольной группы (2,3,7) в подходящей башне главных конгруэнц-подгрупп. Выбор алгебры кватернионов и порядок кватернионов Гурвица[англ.] описан на странице треугольных групп. Если выбрать идеал в кольце целых чисел, соответствующая главная конгруэнц-подгруппа определяет эту поверхность рода 7. Её систола примерно равна 5.796, а число систолических петель, согласно вычислениям Р. Фогелера, равно 126.

История

Эта поверхность первоначально была открыта Робертом Фрикке [3], но названа именем Александера Мюррея Макбита[англ.] после независимого открытия им позже той же кривой [4]. Элкис пишет, что на эквивалентность кривых, которые изучали Фрикке и Макбит, «может быть, впервые обратил внимание Серр в письме Абъянкару[англ.] от 24 июля 1990 года» [5].

См. также

Примечания

  1. ↑ При этом поверхность понимается как комплексная алгебраическая кривая (комплексная размерность 1 = вещественной размерности 2)
  2. ↑ Wohlfahrt, 1985, с. 239–247.
  3. ↑ Fricke, 1899, с. 321–339.
  4. ↑ Macbeath, 1965, с. 527–542.
  5. ↑ Elkies, 1998, с. 1–47.

Литература

  • Kevin Berry, Marvin Tretkoff. Curves, Jacobians, and abelian varieties, Amherst, MA, 1990. — Providence, RI: Contemp. Math., 136, Amer. Math. Soc., 1992. — С. 31–40..
  • Emilio Bujalance, Antonio F. Costa. Mathematical contributions. — Madrid: Editorial Complutense, 1994. — С. 375–385.
  • N. D. Elkies. Algorithmic Number Theory: Third International Symposium, ANTS-III / Joe P. Buhler. — Springer-Verlag, 1998. — Т. 1423. — (Lecture Notes in Computer Science). — ISBN 3-540-64657-4. — doi:10.1007/BFb0054849..
  • R. Fricke. Über eine einfache Gruppe von 504 Operationen // Mathematische Annalen. — 1899. — Т. 52, вып. 2–3. — doi:10.1007/BF01476163..
  • R. Gofmann. Weierstrass points on Macbeath's curve // Vestnik Moskov. Univ. Ser. I Mat. Mekh.. — 1989. — Т. 104, вып. 5. — С. 31–33.. Translation in Moscow Univ. Math. Bull. 44 (1989), no. 5, 37-40.
  • A. Macbeath. On a curve of genus 7 // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1965. — Т. 15. — doi:10.1112/plms/s3-15.1.527..
  • R. Vogeler. On the geometry of Hurwitz surfaces // Florida State University thesis. — 2003..
  • K. Wohlfahrt. Macbeath's curve and the modular group // Glasgow Math. J.. — 1985. — Т. 27. — doi:10.1017/S0017089500006212.. Corrigendum, vol. 28, no. 2, 1986, p. 241, .