Переменные Мандельштама

Переменные Мандельштама — три скалярные релятивистские инвариантные величины, сохраняющиеся в процессе рассеяния двух элементарных частиц с образованием двух новых или сохранением двух старых элементарных частиц или в процессе распада одной элементарной частицы на три. Обычно обозначаются как $s,t,u$ . Были введены американским физиком Стэнли Мандельштамом (1928—2016) в 1958 году^[1]. Процесс рассеяния можно полностью описать, задав значения только двух переменных Мандельштама. Каждая из них равна квадрату полной энергии некоторой пары частиц в той системе координат, в которой их центр покоится.^[2]

Определение

Рассмотрим процесс рассеяния двух элементарных частиц с векторами энергии-импульса $p_{1},p_{2}$ и образования после взаимодействия двух новых или сохранения двух старых элементарных частиц с векторами энергии-импульса $p_{3},p_{4}$ . Соотношения между энергией и массой имеют вид:

p_{i}^{2}=g_{\mu \nu }p_{i}^{\mu }p_{i}^{\nu }=m_{i}^{2}c^{2}.

В пространстве-времени с метрикой $\mathrm {diag} (1,-1,-1,-1)$ они приобретают вид

m_{i}^{2}c^{4}=E_{i}^{2}-p_{i}^{2}c^{2},

или в релятивистских единицах $(c=1)$

m_{i}^{2}=E_{i}^{2}-p_{i}^{2}.

Здесь $i=1,2,3,4$ — индекс элементарной частицы. Сохранение каждой компоненты вектора энергии-импульса выражается уравнением:

p_{1}+p_{2}=p_{3}+p_{4}.

Из этого уравнения можно получить три переменных Мандельштама в релятивистских единицах $(c=1)$ :

$s=(p_{1}+p_{2})^{2}=(p_{3}+p_{4})^{2}$
$t=(p_{1}-p_{3})^{2}=(p_{2}-p_{4})^{2}$
$u=(p_{1}-p_{4})^{2}=(p_{2}-p_{3})^{2}$

Свойства

Переменные Мандельштама связаны соотношением:

s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}.

Вывод

Для вывода используем два соотношения:

Квадраты четырёхимпульсов равны квадратам масс:

p_{i}^{2}=m_{i}^{2}

Сохранение четырёхимпульса:

p_{1}+p_{2}=p_{3}+p_{4}

p_{1}=-p_{2}+p_{3}+p_{4}

Таким образом:

s=(p_{1}+p_{2})^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}

t=(p_{1}-p_{3})^{2}=p_{1}^{2}+p_{3}^{2}-2p_{1}\cdot p_{3}

u=(p_{1}-p_{4})^{2}=p_{1}^{2}+p_{4}^{2}-2p_{1}\cdot p_{4}

Суммируя и подставляя квадраты масс, получаем:

s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}+2p_{1}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}-2p_{1}\cdot p_{3}-2p_{1}\cdot p_{4}

Замечаем, что последние четыре слагаемых обращаются в нуль в силу сохранения четырёхимпульса:

2p_{1}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}-2p_{1}\cdot p_{3}-2p_{1}\cdot p_{4}=2p_{1}\cdot (p_{1}+p_{2}-p_{3}-p_{4})=0

Таким образом:

s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}

Примечания

↑ Mandelstam, S. Determination of the Pion-Nucleon Scattering Amplitude from Dispersion Relations and Unitarity (англ.) // Physical Review : journal. — 1958. — Vol. 112, no. 4. — P. 1344. — doi:10.1103/PhysRev.112.1344. — Bibcode: 1958PhRv..112.1344M. Архивировано 28 мая 2000 года.
↑ Займан, 1971, с. 226.

Литература

Займан Дж. Современная квантовая теория. — М.: Мир, 1971. — 288 с.