Основное тригонометрическое тождество

Основное тригонометрическое тождество — соотношение $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$ , выполняющееся для произвольного значения $\alpha$ ^[1]. Основное тригонометрическое тождество представляет собой запись теоремы Пифагора для треугольника в тригонометрическом круге; длины катетов этого треугольника по модулю равны соответствующим синусу и косинусу, а гипотенуза, будучи радиусом тригонометрического круга, равна единице^[2].

Доказательства

Используя единичную окружность

Единичная окружность с центром в начале координат определяется уравнением $x^{2}+y^{2}=1$ ^[3]. Пускай на окружности лежит точка, расположенная под углом $\alpha$ от оси абсцисс. Тогда координаты этой точки: $x=\cos \alpha ;\ y=\sin \alpha$ . Соответственно исходя из уравнения окружности получаем: $\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1$ ^[4].

Используя прямоугольный треугольник

По определению, синус это отношение противоположного катета к гипотенузе, косинус — отношение прилегающего катета к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике с катетами $a,$ $b$ и гипотенузой $c$ получаем:

\sin \theta ={\frac {b}{c}},

\cos \theta ={\frac {a}{c}}.

Возведём эти выражения в квадрат и прибавим $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta ={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}.$

Согласно теореме Пифагора, $a^{2}+b^{2}=c^{2},$ следовательно $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta ={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}=1$ ^[5].

См. также

Примечания

↑ Lawrence Leff. PreCalculus the Easy Way (англ.). — Barrons Educational Series, 2005. — P. 296. — 466 p. — ISBN 978-0-7641-2892-9. Архивировано 24 января 2024 года.
↑ Proof of the Pythagorean trig identity (англ.). Khan Academy. Дата обращения: 24 января 2024. Архивировано 24 января 2024 года.
↑ Cynthia Y. Young. Algebra and Trigonometry (англ.). — Wiley, 2010. — P. 210. — 1345 p. — ISBN 978-0-470-57727-1. Архивировано 24 января 2024 года.
↑ Thomas W. Hungerford, Douglas J. Shaw. §6.2 The sine, cosine and tangent functions // Contemporary Precalculus: A Graphing Approach (англ.). — 5th ed. — Cengage Learning, 2008. — P. 442. — 1096 p. — ISBN 978-0-495-10833-7.
↑ Pythagorean Identities (англ.). Cuemath. Дата обращения: 24 января 2024. Архивировано 24 января 2024 года.

Read other articles:

Alessandro Benvenuti

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada November 2022. Alessandro BenvenutiAlessandro Benvenuti pada 2008Lahir31 Januari 1950 (umur 74)Pelago, ItaliaPekerjaanPemeran, sutradara, penulis naskahTahun aktif1977–kini Alessandro Benvenuti (lahir 31 Januari 1950) adalah seorang pemeran, sutradara da...

Camp Nou

Camp NouUEFA Nama lengkapSpotify Camp NouLokasiBarcelona, Catalunya, SpanyolPemilikFC BarcelonaSuite eksekutif23[1]Kapasitas99,354[2]Rekor kehadiran120,000 (FC Barcelona vs Juventus), Perempat final Piala Champions Eropa 1986[3]Ukuran lapangan105 m × 68 m (344 ft × 223 ft)PermukaanRumput hibrida GrassMasterPapan skorSonyKonstruksiDidirikan1954–1957Dibuka24 September 1957; 66 tahun lalu (1957-09-24)[4]Direnovasi1995, 2...

لغات أوروبا

هذه المقالة عن اللغات التي يتكلم بها سكان قارة أوروبا وليس جزيرة أروبا في البحر الكاريبي. لمعانٍ أخرى، طالع لغات أروبا. اللغات المتكلمة في أوروبا أغلبها من العائلة اللغوية الهندية الأوروبية أو الفينية الأوغرية.[1] أيضًا اللغات تركية موجودة بكثرة في أوروبا. توزع ا...

Sweatt v. Painter

This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (February 2020) (Learn how and when to remove this template message) 1950 United States Supreme Court caseSweatt v. Painter, et al.Supreme Court of the United StatesArgued April 4, 1950Decided June 5, 1950Full case nameHeman Marion Sweatt v. Theophilus Shickel PainterCitations339 U.S. 629 (more)70 S. Ct. 848; 94...

Khalaj people

Turkic ethnic group Coin of Tegin Shah, described as Iltäbar (sub-King) of the Khalaj, dated to the year 728 CE, on the Hephthalite model, imitating Sasanian king Peroz I (438-457).Obverse: Crown with tridents and lion head. Brahmi inscription around (starting 11:00): sri-hitivira kharalava parame – svara sri sahi tiginadeva karita (His Excellency, Iltäbär of Khalaj, worshipper of the Supreme God, His Excellency the King, the divine Lord Tegin had minted this coin). Inside, Bactrian insc...

José Sacristán

Questa voce sull'argomento attori spagnoli è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. José Sacristán José María Sacristán Turiégano (Chinchón, 23 settembre 1937) è un attore spagnolo, considerato uno dei migliori interpreti teatrali e cinematografici del suo Paese[1]. Indice 1 Carriera 2 Vita personale 3 Filmografia parziale 3.1 Cinema 3.2 Televisione 4 Doppiatori italiani 5 Note 6 Bibliografia 7 Altri progetti 8 Collegamenti este...

Coppa del Brasile 2001

Coppa del Brasile 2001Copa do Brasil 2001 Competizione Coppa del Brasile Sport Calcio Edizione 13ª Organizzatore CBF Date dal 14 marzo 2001al 17 giugno 2001 Luogo Brasile Partecipanti 64 Risultati Vincitore Grêmio(4º titolo) Secondo Corinthians Statistiche Miglior marcatore Washington(Ponte Preta), 11 gol Incontri disputati 117 Gol segnati 371 (3,17 per incontro) Cronologia della competizione 2000 2002 Manuale La Coppa del Brasile 2001 (ufficialmente in...

Rojih Ubab Maimoen

K. H.Rojih Ubab Maimoen Anggota Dewan Perwakilan Rakyat Republik IndonesiaPetahanaMulai menjabat 1 Oktober 2019PresidenJoko WidodoDaerah pemilihanJawa Tengah II Informasi pribadiLahir3 April 1991 (umur 33)Rembang, Jawa TengahPartai politikPPPSuami/istriKhodijahHubunganMaimun Zubair (kakek)Anak2PekerjaanMubaligh, PolitikusSunting kotak info • L • B K. H. Rojih Ubab Maimoen (lahir 3 April 1991) adalah politikus Indonesia yang menjabat sebagai anggota DPR-RI periode 2019�...

Berberine

Quaternary ammonium cation Berberine Names IUPAC name 9,10-Dimethoxy-7,8,13,13a-tetradehydro-2′H-[1,3]dioxolo[4′,5′:2,3]berbin-7-ium Systematic IUPAC name 9,10-Dimethoxy-5,6-dihydro-2H-7λ5-[1,3]dioxolo[4,5-g]isoquinolino[3,2-a]isoquinolin-7-ylium[2] Other names Umbellatine;[1]5,6-Dihydro-9,10-dimethoxybenzo[g]-1,3-benzodioxolo[5,6-a]quinolizinium;[1]7,8,13,13a-Tetradehydro-9,10-dimethoxy-2,3-(methylenedioxy)berbinium[1] Identifiers CAS Number 2086-83-1&#...

Serie A 2005-2006 (calcio femminile)

Serie A Femminile 2005-2006 Competizione Serie A femminile Sport Calcio Edizione 39ª Organizzatore Divisione Calcio Femminile Date dall'8 ottobre 2005al 20 maggio 2006 Luogo Italia Partecipanti 12 Risultati Vincitore Fiammamonza(1º titolo) Secondo Bardolino Verona Retrocessioni AtalantaAtletico Oristano Statistiche Miglior marcatore Patrizia Panico (24) Incontri disputati 132 Gol segnati 456 (3,45 per incontro) Cronologia della competizione Serie A 2004-2005 Serie A 200...

Аравийский волк

Аравийский волк Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:ВторичноротыеТип:ХордовыеПодтип:ПозвоночныеИнфратип:ЧелюстноротыеНадкласс:ЧетвероногиеКлада:АмниотыКлада:СинапсидыКласс:Млек�...

5x5 The Best Selection of 2002-2004

5x5 The Best Selection of 2002-2004Album hit terbaik karya ArashiDirilis10 November 2004 (2004-11-10)Direkam2002-2004GenrePopDurasi70:13 (Edisi terbatas)74:21 (Edisi regular)LabelJ StormJACA-5019 (CD-DVD Edisi terbatas)JACA-5020 (Edisi regular)Kronologi Arashi Iza, Now!(2004)String Module Error: Match not found2004 5x5 The Best Selection of 2002-2004(2004) One(2004)String Module Error: Match not found2004 Singel dalam album 5x5 The Best Selection of 2002-2004 Hitomi no Naka no Galaxy...

Nausithous

The name Nausithous (/ˌnɔːˈsɪθoʊəs/; Ancient Greek: Ναυσίθοος Nausíthoos) is shared by the following characters in Greek mythology: Nausithous, the king of the Phaeacians who reigned in the generation before Odysseus washed ashore on their home island of Scherie (his son Alcinous was king at the time of Odysseus's arrival). He was the son of the god Poseidon and Periboia, the daughter of the Giant king Eurymedon. According to Homer, Nausithous led a migration of Phaeacians f...

乌克兰总理

烏克蘭總理Прем'єр-міністр України烏克蘭國徽現任杰尼斯·什米加尔自2020年3月4日任命者烏克蘭總統任期總統任命首任維托爾德·福金设立1991年11月后继职位無网站www.kmu.gov.ua/control/en/（英文）乌克兰乌克兰政府与政治系列条目宪法政府总统弗拉基米尔·泽连斯基總統辦公室国家安全与国防事务委员会总统代表（英语：Representatives of the President of Ukraine）总...

Marina Wheeler

British lawyer, writer and columnist (born 1964) Marina WheelerKCBornMarina Claire Wheeler (1964-08-18) 18 August 1964 (age 59)West Berlin (now Berlin, Germany)NationalityBritishEducation Bedales School European School, Brussels Alma mater Fitzwilliam College, Cambridge Université libre de Bruxelles OccupationsBarristerwritercolumnistKnown for Queen's Counsel (2016) Spouse of the prime minister of the United Kingdom (2019–2020) Author of The Lost Homestead: My Mother, Partit...

Gigaom

Technology news website GigaomType of siteTechnology news and analysisAvailable inEnglishHeadquartersSanta Barbara, California, USOwnerKnowingly CorporationURLgigaom.comCommercialYesLaunched2006 Gigaom is a technology focused analyst firm and media company.[1] The company evolved from a blog which offered news, analysis, and opinions on startup companies, emerging technologies, and other technology related topics. It was started by Om Malik in San Francisco, California and after ...

Maureen Forrester

Canadian operatic contralto (1930–2010) Maureen ForresterMaureen Kathleen Stewart Forrester photo taken by Carl Van VechtenBornMaureen Kathleen Stewart Forrester(1930-07-25)July 25, 1930Montreal, Quebec, CanadaDiedJune 16, 2010(2010-06-16) (aged 79)Toronto, Ontario, CanadaOccupationSingerYears active1953–1983Spouse Eugene Kash (m. 1957; div. 1974)Children5; including Linda Kash and Daniel Kash Maureen Kathleen Stewart Forrester...

Blok cabang berkas kiri

Blok cabang berkas kiriGambaran EKG pada LBBB menunjukkan kompleks QRS yang melebar dengan bentuk abnormal pada lead V1 dan V6.Informasi umumSpesialisasiKardiologi Blok cabang berkas kiri (Inggris: Left bundle branch block (LBBB)) merupakan salah satu abnormalitas konduksi jantung yang terlihat pada elektrokardiogram (EKG).[1] Pada kondisi ini, aktivasi ventrikel kiri mengalami penundaan yang kemudian menyebabkan ventrikel kiri berkontraksi lebih lambat dari ventrikel kanan. Dia...

Province de Catamarca

Pour les articles homonymes, voir Catamarca. Ne doit pas être confondu avec Province de Cajamarca. Province de Catamarca Provincia de Catamarca Héraldique Drapeau Localisation de la province de Catamarca Administration Pays Argentine Capitale San Fernando del Valle de Catamarca Gouverneur Raúl Jalil (PJ-FPV) ISO 3166-2 AR-K Démographie Gentilé Catamarqueño/a Population 396 895 hab. (2015) Densité 3,9 hab./km2 Géographie Coordonnées 28° sud, 66° ouest Super...

Tutti i Santi

Disambiguazione – Ognissanti rimanda qui. Se stai cercando altri significati, vedi Ognissanti (disambigua). Tutti i SantiPala di Fiesole - particolare Tutti i Santi, dipinto di Beato AngelicoTiporeligiosa Data1º novembre (cattolicesimo); prima domenica dopo la Pentecoste (cristianesimo orientale) Periodoanno liturgico ReligioneCristianesimo Oggetto della ricorrenzaCommemorazione di tutti i Santi Ricorrenze correlateCommemorazione dei defunti Cimitero durante Tutti i Santi in ...

/profillengkap.com/index.php/article/List of Bulgarian military equipment of World War II

/profillengkap.com/index.php/article/Ego death

Dallas Mavericks

Kalangan, Pedan, Klaten

Bandar Udara Internasional Malabo

Dick Lane (pemandu acara)

Daftar album Dottie West

Provinsi di Ekuador

العلاقات الباكستانية البولندية

Multicenter trial

European route E661

Cragg Vale Coiners