О́бщее положе́ние (англ. general position^[1]) — свойство, которое выполняется почти всюду, то есть почти для всех рассматриваемых объектов. Математический термин, используемый в основном в геометрии, значение которого зависит от контекста и который применяется обычно в следующих словосочетаниях^[2]: «объекты, находящиеся в общем положении, имеют свойство S», «S есть свойство общего положения», «приведение объектов в общее положение», другими словами, между объектами отсутствуют какие-либо «особые» отношения^[1].

Следующий пример типичен для понятия «общее положение»^[2].

Общее положение на плоскости прямой и окружности — прямая и окружность либо не пересекаются, либо пересекаются в двух точках. Иначе, почти всегда прямая либо проходит вне окружности, либо пересекает её в двух точках, и почти никогда её не касается. В количественных соотношениях, если на плоскости есть окружность и прямая, то имеется бесконечное количество прямых, параллельных данной прямой, которые либо проходят вне окружности, либо пересекают её в двух точках, и всего две параллельные прямые, которые касаются окружности^[3].

Сначала общее положение понималось в геометрических терминах, подобных терминам в случае прямой и окружности на плоскости, и термин «общее положение» используется в геометрических разделах математики или испытывающих значительное влияние геометрии. Тем не менее идеи, опирающиеся на множества второй категории Бэра или полной меры^[англ.], употребляются за пределами геометрии^[3].

В настоящее время термин «общее положение» часто используется при непосредственном обобщении терминов, использованных в случае прямой и окружности на плоскости, а именно либо непосредственно при исследовании трансверсальности двух многообразий в соответствующем объемлющем многообразии, либо в родственном случае с трансверсальными самопересечениями иммерсированного подмногообразия^{[англ.][3]}.

Обычно в некотором контексте совокупность ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ всех рассматриваемых объектов имеет некоторую структуру, которая выделяет некоторые подсовокупности ${\displaystyle {\mathfrak {A\subset S}}}$ как «малые», «пренебрежимые» или, наоборот, «большие», «массивные». В этом случае считается, что некоторое свойство ${\displaystyle S}$ имеет общее положение, если обладающие им объекты образуют в ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ «большую» подсовокупность^[2].

Совокупность ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$, как правило, обладает одной из следующих структур^[2]:

(1) алгебраического многообразия;

(2) гладкого многообразия (возможного, бесконечномерного);

(3) топологического пространства, чаще всего пространства второй категории Бэра, в частности полные метрические пространства.

(4) пространства с мерой.

В перечисленных случаях «малыми» подсовокупностями считаются соответственно^[2]:

(1) алгебраические подмногообразия (меньшей размерности);

(2) дифференцируемые подмногообразия и их конечные или счётные объединения;

(3) нигде не плотные множества или множества первой категории Бэра;

(4) множества меры нуль.

Подсовокупность ${\displaystyle {\mathfrak {A\subset S}}}$ определяется как «большая», если дополнение к ней — «малая»^[2].

Типичное свойство, или свойство общего положения, — свойство ${\displaystyle S}$, которое выполняется почти для всех объектов из совокупности ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$. При этом подсовокупность ${\displaystyle {\mathfrak {A\subset S}}}$ включает «большинство», или «почти все», объекты ${\displaystyle S\in {\mathfrak {S}}}$^[2].

Типичный объект, или объект общего положения, или объект, находящийся в общем положении, — объект, обладающий одним или несколькими «типичными свойствами» (какими именно — выясняется из контекста)^[2].

Существует более слабое значение термина «большое подмножество»: в случаях (3) и (4) «большое» подмножество может означать соответственно подмножество второй категории Бэра в непустом открытом подмножестве пространства ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ или подмножество положительной меры. В этих случаях говорят. что «этим множеством объектов нельзя пренебречь», но уже не говорят о «типичности»^[2].

Теперь рассмотрим случаи (1) и (2). Имеем «малое» множество ${\displaystyle {\mathfrak {A\subset S}}}$ с положительной коразмерностью ${\displaystyle \operatorname {codim} {\mathfrak {A}}}$. Поэтому чем больше коразмерность ${\displaystyle \operatorname {codim} {\mathfrak {A}}}$, тем меньше множество ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$^[2].

Если имеются ${\displaystyle n}$-параметрические семейства объектов ${\displaystyle O(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots \lambda _{n})}$, которые достаточно гладко зависят от ${\displaystyle n}$ скалярных параметров, причём всевозможные такие семейства образуют пространство второй категории Бэра, то возникает ситуация, близкая к (2) и даже более общая. А именно, малость множества ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ означает, что^[2]:

• ${\displaystyle \operatorname {codim} {\mathfrak {A}}>n}$, если почти все (в смысле (3)) семейства ${\displaystyle O(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots \lambda _{n})}$ не содержат объектов из ${\displaystyle \operatorname {codim} {\mathfrak {A}}}$;
• ${\displaystyle \operatorname {codim} {\mathfrak {A}}=\infty }$, если это так при любом ${\displaystyle n}$.

Подобные соображения коразмерности существенны в теории бифуркаций и теории особенностей дифференцируемых отображений^[2].

Рассмотрим объекты, на которые действуют некоторые операции ${\displaystyle g}$, совокупность которых ${\displaystyle G}$, как правило, есть группа или хотя бы полугруппа с единицей ${\displaystyle e}$^[2].

Приведение объекта в общее положение использованием групповой операции — получение определённых свойств объекта ${\displaystyle O}$ путём использования групповой операции ${\displaystyle g}$: новый объект ${\displaystyle gO}$ обладает нужными свойствами^[2].

Аналогично совокупности ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ группа (полугруппа с единицей) ${\displaystyle G}$ имеет некоторую структуру, которая и определяет «большое» множество операций^[4].

Приведение объекта в общее положение использованием малого шевеления — процедура, заключающаяся в том, что операцию ${\displaystyle g}$, которая отображает исходный объект ${\displaystyle O}$ в объект ${\displaystyle gO}$ с определёнными свойствами, можно выбрать сколь угодно близкой к единице ${\displaystyle e}$^[3].

В качестве примера приведём прямую ${\displaystyle a}$ и окружность ${\displaystyle b}$ на плоскости, которые в общем положении либо не пересекаются, либо пересекаются в двух точках. В этом примере объект — это пара ${\displaystyle (a,b)}$, а операции — движения евклидовой плоскости (даже одни только параллельные переносы), которые применяются к прямой ${\displaystyle a}$ при фиксированной окружности ${\displaystyle b}$. Следовательно, совокупность всех объектов ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ и группа ${\displaystyle G}$ естественным образом получают все необходимые вышеназванные структуры, и тогда общее положение понимается в соответствии с любым из вышеописанных вариантов^[3].

В геометрической топологии^[англ.], которая изучает как кусочно линейные, так и топологические многообразия и соответствующие классы отображений, термин «общее положение» используется почти исключительно как синоним термина «трансверсальность»^[3].

В алгебраической геометрии несложные случаи, аналогичные прямой и окружности на плоскости, легко анализируются с помощью теории исключения^[англ.], при этом основное поле произвольно (но обычно алгебраически замкнуто). В более сложных ситуациях имеются следующие теоремы^[3]:

• две теоремы Бертини^[англ.];
• теорема Лефшеца о гиперплоском сечении^[англ.].

Кроме того, при рассмотрении действия алгебраической группы на алгебраическом многообразии большое значение имеют точки общего положения^[3].

Понятие общего положения применяется очень широко в дифференциальной топологии и теории особенностей дифференцируемых отображений. При доказательстве результатов обычно используются следующие теоремы об общем положении, или теоремы о трансверсальной регулярности^[3][5]:

• теорема Сарда^[6];
• более удобны для практического применения теоремы о трансверсальности:

• теорема Тома^{[англ.][6]};
• теорема Абрахама^{[англ.][7]}.

Указанная теорема Сарда при бесконечной размерности не верна, но этот недостаток компенсируется более слабыми результатами^[3].

Несколько теорем о «типичных» свойствах есть в в теории гладких динамических систем. Как правило, эти теоремы доказываются редукцией к теореме Сарда, особенно в локальной теории бифуркаций^[англ.]. Есть немногочисленные положительные результаты, не связанные с этой редукцией^[3].

Существенная особенность теории гладких динамических систем — это существенное различие понятия общего положения в топологическом и метрическом смысле, соответственно случаи (3) и (4)^[3].

Понятие общего положения используется также в дифференциальной геометрии многообразий^[3][8][9].

Типичное свойство римановой метрики — множество римановых метрик, удовлетворяющих этому свойству, остаточно^[10].

Предложение. Следующее свойство типично^[10]:

• отображение Пуанкаре для периодической траектории геодезического потока либо гиперболическое, либо закручивающее.

Набор точек. Рассмотрим набор из ${\displaystyle m}$ произвольных точек в ${\displaystyle n}$-мерном аффинном пространстве^[1].

Общее положение в пространстве набора точек — свойство ${\displaystyle m}$ точек в ${\displaystyle n}$-мерном аффинном пространстве, заключающееся в том, что никакие ${\displaystyle k}$ из них не лежат в подпространстве размерности ${\displaystyle k-2}$, где ${\displaystyle k=2,3,\dots ,k+1}$. В частности, точки на плоскости находятся в общем положении, если никакие три не лежат на одной прямой^[1].

Требование этого определения избыточно для большинства наборов. В частности, если ${\displaystyle m\geqslant n+1}$, то достаточно предположить, что никакой набор из ${\displaystyle n+1}$ точки не лежит в гиперплоскости^[1].

Прямая и окружность. Рассмотрим расположение прямой и окружности на плоскости^[3].

Общее положение на плоскости прямой и окружности — прямая и окружность либо не пересекаются, либо пересекаются в двух точках^[3].

Две прямые. Рассмотрим расположение двух прямых в трёхмерном пространстве^[11].

Общее положение в трёхмерном пространстве двух прямых — прямые не пересекаются. Другими словами, вложение прямой в трёхмерное пространство трансверсально тогда и только тогда, когда прямые не пересекаются^[11].

Гладкая функция. Рассмотрим гладкую функцию на гладком многообразии^[12].

Гладкая функция общего положения — функция Морса. Другими словами, функция Морса на компактном многообразии имеет только конечное число критических точек^[13].

Два подпространства. Рассмотрим вещественное линейное пространство и два его подпространства, сумма размерностей которых больше размерности исходного пространства^[14].

Общее положение в линейном пространстве двух подпространств — алгебраическая сумма подпространств совпадет со всем пространством^[14].

В частности, два подмногообразия дополнительной размерности в общем положении пересекаются трансверсально^[15].

• Аносов Д. В. Общее положение // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 3 Коо—Од. М.: «Советская Энциклопедия», 1982. 1184 стб., ил. Стб. 1144—1145.
• Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 304 с., ил.
• Клингенберг, В. Лекции о замкнутых геодезических / Пер. с англ. А. И. Грюнталя под ред. Д. В. Аносова. М.: Мир, 1982. 414 с., ил. [Klingenberg Wilhelm. Lectures on closed geodesics. Berlin·Heidelberg·New York: Springer-Verlag, 1978.]
• Мищенко А. С., Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора. М.: Наука, 1978. 352 с., ил.
• Wall C. T. C. Geometric properties of generic differentiable manifolds // Geometry and Topology. Proceedings of the School Held at the Instituto de Matematica Pura e Aplicada CNPq, Rio de Janeiro, July 1976. Conference proceedings, 1977. (Lecture Notes in Mathematics (LNM, volume 597).) P. 707–774.
• Yale P. B. Geometry and symmetry. San Francisco·Cambridge·London·Amsterdam: Holden-Day, 1968. Pp. xi, 288. (Holden-Day series in mathematics)

Эта статья входит в число добротных статей русскоязычного раздела Википедии.