Модель Удзавы — Лукаса (модель Лукаса англ. Uzawa—Lucas model) — двухсекторная модель эндогенного экономического роста в условиях совершенной конкуренции, показывающая возможность существования устойчивого экономического роста, обусловленного внешними эффектами от накопления персонифицированного человеческого капитала в секторе образования. В модели показано, что решения экономических агентов об уровне образования могут быть источником устойчивого экономического роста наряду с научно-техническим прогрессом. Модель Удзавы — Лукаса вклад в изучение человеческого капитала и внешних эффектов от него. Первоначальная версия модели была разработана Хирофуми Удзавой в 1965 году, которая затем была существенно дополнена Робертом Лукасом в 1988 году.
После того, как Пол Ромер разработал модель обучения в процессе деятельности, исследователи обратились к теме внешних эффектов от запаса капитала, с помощью которых можно было показать возможность наличия устойчивых темпов роста без экзогенно задаваемых темпов научно-технического прогресса. В модели Ромера внешние эффекты происходили от совокупного физического запаса капитала и через эффект перелива знаний распространялись на всю экономику. Будущий лауреат Нобелевской премии по экономике Роберт Лукас предложил иное толкование: по его мнению, внешние эффекты происходили от человеческого капитала. За основу он взял модель Хирофуми Удзавы, изложенную в работе «Оптимальные технические изменения в агрегированной модели экономического роста», изданной в журнале International Economic Review[англ.] в январе 1965 года[1]. В модели Удзавы рассматривалась экономика, в которой темпы научно-технического прогресса зависят от доли трудовых ресурсов, занятых в образовательном секторе. Однако в модели Удзавы была постоянная отдача от физического и человеческого капитала была постоянной, а внешние эффекты отсутствовали. Роберт Лукас изложил свою модель в лекциях в Кембриджском университете в 1985 году[2], её основные положения были позже изложены в работе «О механике экономического развития», изданной в журнале Journal of Monetary Economics в июле 1988 года[3]. Лукас добавил в модель Удзавы внешний эффект от среднего уровня образования в экономике[4], тем самым существенно усложнив её: теперь отдача от капитала стала переменной во времени, индивидуальная и общественная отдача от образования стали различными, и, следовательно, решения для конкурентной и централизованной экономики стали различными[5]. Похожая постановка в модели, предложенной другим будущим лауреатом Нобелевской премии по экономике Полом Кругманом в 1987 году, однако в постановке Лукаса более четко обозначен внешний эффект от образования, считающийся внешним для каждого отдельного производителя, но при этом являющийся результатом решения экономических агентов[2]. Итоговую модель назвали моделью «Удзавы — Лукаса»[6][7][8][9] (также встречается название «модель Лукаса»[10][11][12][13]).
В модели рассматривается закрытая экономика. Фирмы максимизируют свою прибыль, а потребители — полезность. Экономика функционирует в условиях совершенной конкуренции. Производится только один продукт Y {\displaystyle Y} , используемый, как для потребления C {\displaystyle C} , так и для инвестиций I {\displaystyle I} . В качестве работника и потребителя в модели выступает бесконечно живущий индивид (или домохозяйство). Предполагается, что между разными поколениями существуют альтруистические связи, при принятии решений домохозяйство учитывает ресурсы и потребности не только настоящих, но и будущих своих членов, что делает его решения аналогичным решениям бесконечно живущего индивида. Фискальная политика в модели отсутствует. Время t {\displaystyle t} изменяется непрерывно[3].
Предпосылка о закрытой экономике означает, что произведенный продукт тратится на инвестиции и потребление, экспорт/импорт отсутствуют, сбережения равны инвестициям: S = I {\displaystyle S=I} , C = c L {\displaystyle C=cL} , Y = C + I {\displaystyle Y=C+I} .
Производственная функция задается следующей формулой[3]:
Для человеческого и физического капиталов выполняются условия отсутствия схемы Понци (финансовой пирамиды)[3]:
Индивид предлагает одну единицу труда (предложение труда неэластично) и получает натуральную заработную плату (в единицах товара). Функция полезности бесконечно живущего индивида-потребителя u ( c t ) {\displaystyle u(c_{t})} является сепарабельной, то есть потребление прошлых и будущих периодов не влияют на текущую полезность, влияет только потребление текущего периода. Она удовлетворяет условиям u ′ ( c ) > 0 , u ″ ( c ) < 0 {\displaystyle u'(c)>0,u''(c)<0} и условиям Инады (при потреблении, стремящемся к нулю, предельная полезность стремится к бесконечности, при потреблении, стремящемся к бесконечности, предельная полезность стремится к нулю): lim c → → --> 0 u ′ ( c ) = + ∞ ∞ --> ; lim c → → --> ∞ ∞ --> u ′ ( c ) = 0 {\displaystyle \lim _{c\to 0}u'(c)=+\infty ;\lim _{c\to \infty }u'(c)=0} , а также обладает постоянной эластичностью замещения u ″ ( c ) u ′ ( c ) c = − − --> θ θ --> {\displaystyle {\frac {u''(c)}{u'(c)}}c=-\theta } , и имеет вид[14]:
Сектор образования описывается следующим уравнением[15]:
Индивидуум принимает решение об уровне образования исходя из максимизации своего дохода z {\displaystyle z} [15]:
где N {\displaystyle N} — общий объём времени экономического агента, S {\displaystyle S} — время, потраченное на обучение, h ( S ) = e γ γ --> S {\displaystyle h(S)=e^{\gamma S}} — уровень образования индивида исходя из предпосылки h ˙ ˙ --> = γ γ --> ( 1 − − --> u ) h t {\displaystyle {\dot {h}}=\gamma (1-u)h_{t}} , w t = e g w t {\displaystyle w_{t}=e^{g_{w}t}} — уровень заработной платы, где g w = w ˙ ˙ --> w {\displaystyle g_{w}={\frac {\dot {w}}{w}}} — темп роста заработной платы, g w < r {\displaystyle g_{w}<r} .
Условие максимума[16]:
Решение этого уравнения в виде оптимального времени обучения S ∗ ∗ --> {\displaystyle S^{*}} выглядит следующим образом[16]:
Если принять дополнительную предпосылку о том, что экономический агент тратит на учёбу значительно меньшую часть своей жизни, чем на работу ( N >> S {\displaystyle N>>S} ), или же, по аналогии с моделью пересекающихся поколений, считая, что человеческий капитал передается по наследству, а альтруистические связи между поколениями делают поведение домохозяйства аналогичным поведению бесконечно живущего индивида ( N → → --> ∞ ∞ --> {\displaystyle N\to \infty } ), мы получаем, что[16]:
Задача потребителя в модели заключается в максимизации полезности при условии ограничений на темп роста капитала и на темп роста квалификации работников. Отдельный индивидуум в условиях совершенной конкуренции не влияет на средний уровень образования в экономике, потому в конкурентном равновесии ∂ ∂ --> h t ¯ ¯ --> ∂ ∂ --> h i t = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\bar {h_{t}}}}{\partial {h_{it}}}}=0} [3][17].
Для поиска равновесия составляется функция Гамильтона и находится её максимум при помощи принципа максимума Понтрягина[15].
Функция Гамильтона выглядит следующим образом:
Условия максимума первого порядка[3]:
Фазовые координаты (сопряжённые уравнения)[3]:
Условия трансверсальности (при невыполнении которых найденное решение может оказаться не максимумом, а седловой точкой) совпадают с ограничением на отсутствие схемы Понци[18][19]: lim t → → --> ∞ ∞ --> λ λ --> t K t = 0 {\displaystyle \lim _{t\to \infty }\lambda _{t}K_{t}=0} и lim t → → --> ∞ ∞ --> μ μ --> t h t L t = 0 {\displaystyle \lim _{t\to \infty }\mu _{t}h_{t}L_{t}=0} , где λ λ --> t {\displaystyle \lambda _{t}} представляет собой теневую цену[англ.] физического капитала, a μ μ --> t {\displaystyle \mu _{t}} — теневую цену человеческого капитала (теневые цены учитывают внешние эффекты в стоимости товаров, если фирмы и потребители принимают решения в соответствии со структурой цен, пропорциональной теневой, то в экономике достигается оптимальное по Парето состояние[20]).
Искомый равновесный темп роста выпуска g Y ∗ ∗ --> = Y ˙ ˙ --> Y {\displaystyle g_{Y}^{*}={\frac {\dot {Y}}{Y}}} и потребления g C ∗ ∗ --> = C ˙ ˙ --> C {\displaystyle g_{C}^{*}={\frac {\dot {C}}{C}}} имеет следующий вид[3]:
Темп роста выпуска на душу населения g y ∗ ∗ --> = y ˙ ˙ --> y {\displaystyle g_{y}^{*}={\frac {\dot {y}}{y}}} и потребления и потребления на душу населения g c ∗ ∗ --> = c ˙ ˙ --> c {\displaystyle g_{c}^{*}={\frac {\dot {c}}{c}}} имеет следующий вид[21][3]:
Равновесный темп роста заработной в модели платы g w ∗ ∗ --> {\displaystyle g_{w}^{*}} имеет вид[22][3]:
Поскольку в модели присутствуют внешние эффекты, которые не учитываются потребителями при принятии решения об уровне образования ( ∂ ∂ --> h t ¯ ¯ --> ∂ ∂ --> h i t = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\bar {h_{t}}}}{\partial {h_{it}}}}=0} ), то децентрализованное равновесие не является оптимальным. Потому в модели при централизованном планировании можно достичь более высокого уровня потребления c {\displaystyle c} . При централизованном планировании h t ¯ ¯ --> = h t {\displaystyle {\bar {h_{t}}}=h_{t}} , и задача централизованного планирования выглядит следующим образом[3][23].
При условиях:
Для поиска равновесия составляется функция Гамильтона и находится её максимум при помощи принципа максимума Понтрягина[3].
Условия трансверсальности: lim t → → --> ∞ ∞ --> λ λ --> t K t = 0 {\displaystyle \lim _{t\to \infty }\lambda _{t}K_{t}=0} и lim t → → --> ∞ ∞ --> μ μ --> t h t L = 0 {\displaystyle \lim _{t\to \infty }\mu _{t}h_{t}L=0} , где λ λ --> t {\displaystyle \lambda _{t}} представляет собой теневую цену[англ.] физического капитала, a μ μ --> t {\displaystyle \mu _{t}} — теневую цену человеческого капитала[20].
Искомый равновесный темп оптимальный роста выпуска g Y ∗ ∗ --> ∗ ∗ --> = ( Y ˙ ˙ --> Y ) o p t {\displaystyle g_{Y}^{**}={\biggl (}{\frac {\dot {Y}}{Y}}{\biggr )}_{opt}} и потребления g C ∗ ∗ --> ∗ ∗ --> = ( C ˙ ˙ --> C ) o p t {\displaystyle {\displaystyle g_{C}^{**}={\biggl (}{\frac {\dot {C}}{C}}{\biggr )}_{opt}}} имеет следующий вид[3]:
Темп роста выпуска на душу населения g y ∗ ∗ --> ∗ ∗ --> = ( y ˙ ˙ --> y ) o p t {\displaystyle g_{y}^{**}={\biggl (}{\frac {\dot {y}}{y}}{\biggr )}_{opt}} и потребления и потребления на душу населения g c ∗ ∗ --> ∗ ∗ --> = ( c ˙ ˙ --> c ) o p t {\displaystyle g_{c}^{**}={\biggl (}{\frac {\dot {c}}{c}}{\biggr )}_{opt}} имеет следующий вид[24][3]:
Ставка процента r ∗ ∗ --> ∗ ∗ --> {\displaystyle r^{**}} , соответствующая оптимальным темпам роста, имеет следующий вид[24][3]::
Таким образом, темпы роста потребления выпуска и заработной платы в модели при централизованном планировании выше, чем при конкурентном равновесии[24]. Однако при отсутствии внешнего эффекта от уровня образования (если β β --> = 0 {\displaystyle \beta =0} ), темпы роста выпуска в централизованном и конкурентном состоянии совпадают и равны[24]: g C = g Y = 1 θ θ --> ( γ γ --> − − --> ρ ρ --> + n ) + n {\displaystyle g_{C}=g_{Y}={\frac {1}{\theta }}(\gamma -\rho +n)+n} , а заработная плата не растет ( g w = 0 {\displaystyle g_{w}=0} ), и модель превращается в полный аналог изначальной модели Удзавы.
Графически равновесие в модели показано на иллюстрации. Синяя линия показывает общую отдачу от образования для экономики ( r ∗ ∗ --> ∗ ∗ --> {\displaystyle r^{**}} ). Зелёная линия показывает отдачу от образования для отдельного индивида. Красная линия обозначает финансовые ограничения индивида (сбережения). Точка E 0 {\displaystyle E_{0}} — пересечение финансовых ограничений и отдачи от образования для индивида, конкурентное равновесие. Точка O 0 {\displaystyle O_{0}} — пересечение финансовых ограничений и отдачи от образования для экономики, оптимальное (централизованное) равновесие. Точка M {\displaystyle M} — пересечение персональной и социальной отдачи от образования, максимально возможные темпы роста при текущем уровне внешних эффектов от образования β β --> {\displaystyle \beta } . Для темпов роста, превышающих темпы в точке M {\displaystyle M} , необходимо, чтобы отдача от образования для индивида превышала общую отдачу от образования для экономики, что при положительном внешнем эффекте от образования невозможно[24].
Государственная политика может влиять на равновесие двумя способами. Первый вариант — стимулирование образования. Увеличение расходов на образование делает его производительность γ γ --> {\displaystyle \gamma } выше, что сдвигает линию отдачи от образования для индивида (зелёную линию) вверх, равновесие сдвигается в точку E 1 {\displaystyle E_{1}} , приближая его к точке O 0 {\displaystyle O_{0}} : темпы роста g Y {\displaystyle g_{Y}} и процентная ставка r {\displaystyle r} вырастут. Оптимальное равновесие не меняется[25].
Второй вариант — поощрение сбережений (в том числе и через повышение их доходности). в этом случае линию финансовых ограничений (красную линию) индивида вправо, равновесие сдвигается в точку E 2 {\displaystyle E_{2}} : темпы роста g Y {\displaystyle g_{Y}} и процентная ставка r {\displaystyle r} вырастут. Однако оптимальное равновесие также изменится, оно сдвинется в точку O 1 {\displaystyle O_{1}} , приближаясь к точке M {\displaystyle M} [26].
Возможно и одновременное применение обеих политик, тогда равновесие сдвинется в точку E 3 {\displaystyle E_{3}} , в которой темпы роста g Y {\displaystyle g_{Y}} и процентная ставка r {\displaystyle r} выше, чем в точках E 1 {\displaystyle E_{1}} и E 2 {\displaystyle E_{2}} [26].
Достоинством модели является то, что она, в отличие от более ранних моделей (модель Рамсея — Касса — Купманса, модель пересекающихся поколений) демонстрирует возможность устойчивого экономического роста без экзогенно задаваемых темпов научно-технического прогресса. Модель не была первой, в которой человеческий капитал интегрирован в производственную функцию, однако, в отличие от модели Менкью — Ромера — Вейла, экономический рост в модели является эндогенным. Он основывается на накоплении человеческого капитала H t {\displaystyle H_{t}} в форме повышения уровня образования, который усиливается внешними эффектами от распространения знаний в экономике. Таким образом, в модели Удзавы — Лукаса показано, что решения экономических агентов об уровне образования могут быть источником устойчивого экономического роста наряду с научно-техническим прогрессом[26], тем самым показав важность изучения человеческого капитала и внешних эффектов от него[10]. Благодаря этому, модель привлекла внимание многих исследователей к зарождающейся теории эндогенного экономического роста[10].
Также как и модель обучения в процессе деятельности, модель Удзавы — Лукаса не предполагает ни абсолютной, ни условной конвергенции, так как темпы роста не падают с ростом объёма выпуска, а значит, в рамках её предпосылок бедные страны не могут догнать богатые[27]. Это более реалистичный вывод, чем у моделей Солоу и Рамсея — Касса — Купманса, предполагавших, что при одинаковых структурных параметрах, бедные страны должны догонять богатые. В большинстве случаев бедные страны действительно не могут догнать богатые[28], хотя единичные примеры таких стран известны (японское экономическое чудо, корейское экономическое чудо). Более того, в модели обучения в процессе деятельности различия, существующие между странами, со временем только нарастают, а значит, бедные страны не только не могут догнать богатые, но и всё больше отстают от них. Такой вывод представляется чрезмерно пессимистичным по отношению к развивающимся странам и эмпирически не подтверждается[29].
В отличие от модели обучения в процессе деятельности, устойчивые темпы роста в модели Удзавы — Лукаса не зависят от масштаба экономики L t {\displaystyle L_{t}} , что является более реалистичным выводам, поскольку в ряде исследований было показано, что большие страны не растут быстрее малых. Например, Чарльз Джонс показал, что такая предпосылка не соответствует эмпирическим данным. В своей работе Джонс предложил модель[англ.], объясняющую полученные результаты, являющуюся упрощённой модификацией модели растущего разнообразия товаров[30].
Вместе с тем, эмпирические исследования показали очень слабое влияние внешних эффектов от человеческого капитала на совокупный выпуск (исследования Дж. Рауча[31], Д. Аджемоглу и Дж. Ангриста[32], Э. Дюфло[33], Э. Моретти[34], А. Чикконе и Дж. Пери[35]). Потому, модель не дала исчерпывающего ответа на вопрос о причинах экономического роста, хотя и внесла вклад в их понимание[10].
Lokasi Pengunjung: 3.144.19.172