Минимальный многочлен в теории полей — конструкция, определяемая для алгебраического элемента: многочлен, которому кратны все многочлены, корнем которых является данный элемент.

Минимальные многочлены используются при изучении расширений полей. Если задано расширение ${\displaystyle E\supsetneq K}$ и элемент ${\displaystyle \alpha \in E}$, алгебраический над ${\displaystyle K}$, то минимальное подполе ${\displaystyle E}$, содержащее ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle \alpha }$, изоморфно факторкольцу ${\displaystyle K[x]/(f(x))}$, где ${\displaystyle K[x]}$ — кольцо многочленов с коэффициентами в ${\displaystyle K}$, а ${\displaystyle (f(x))}$ — главный идеал, порождённый минимальным многочленом ${\displaystyle \alpha }$. Также понятие минимального многочлена используется при определении сопряжённых элементов.

Пусть ${\displaystyle E\supsetneq K}$ — расширение поля, ${\displaystyle \alpha \in E}$ — элемент, алгебраический над ${\displaystyle K}$. Рассмотрим множество многочленов ${\displaystyle f(x)\in K[x]}$, таких что ${\displaystyle f(\alpha )=0}$. Это множество образует идеал в кольце многочленов ${\displaystyle K[x]}$. Действительно, если ${\displaystyle f(\alpha )=0,g(\alpha )=0}$, то ${\displaystyle (f+g)(\alpha )=0}$, и для любого многочлена ${\displaystyle h(x)\in K[x]}$ ${\displaystyle (f\cdot h)(\alpha )=0}$. Этот идеал ненулевой, так как по предположению элемент ${\displaystyle \alpha }$ алгебраичен; поскольку ${\displaystyle K[x]}$ — область главных идеалов, этот идеал главный, то есть порождается некоторым многочленом ${\displaystyle f(x)}$. Такой многочлен определён с точностью до умножения на обратимый элемент поля; накладывая дополнительное требование, чтобы старший коэффициент ${\displaystyle f(x)}$ был равен единице, то есть чтобы ${\displaystyle f(x)}$ был приведённым многочленом, получается однозначное сопоставление произвольному алгебраическому элементу ${\displaystyle \alpha }$ из данного расширения многочлена, который и называется минимальным многочленом ${\displaystyle \alpha }$. Из определения следует, что любой минимальный многочлен является неприводимым в ${\displaystyle K[x]}$.

• Пусть ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ,E=\mathbb {R} ,\alpha ={\sqrt {2}}}$. Тогда минимальный многочлен числа ${\displaystyle \alpha }$ — это ${\displaystyle x^{2}-2}$. Если же мы возьмём ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$, то минимальный многочлен равен ${\displaystyle x-{\sqrt {2}}}$.
• ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ,E=\mathbb {R} ,\alpha ={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$. Минимальный многочлен ${\displaystyle \alpha }$ — это ${\displaystyle x^{4}-10x^{2}+1}$.
• ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ,E=\mathbb {R} ,\alpha ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {2}}}}.}$ Минимальный многочлен ${\displaystyle \alpha }$ равен ${\displaystyle x^{3}+3x-2.}$
• Аналогичный для ${\displaystyle \alpha ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2}}}}-{\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {2}}}}}$ многочлен равен ${\displaystyle (x^{3}-3x-2{\sqrt {2}})(x^{3}-3x+2{\sqrt {2}})=x^{6}-6x^{4}+9x^{2}-8.}$

Сопряжённые элементы алгебраического элемента ${\displaystyle \alpha }$ над полем ${\displaystyle K}$ — это все (остальные) корни минимального многочлена ${\displaystyle \alpha }$.

Пусть ${\displaystyle E\supsetneq K}$ — нормальное расширение с группой автоморфизмов ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle \alpha \in E}$. Тогда для любого ${\displaystyle g\in G}$ — ${\displaystyle g(\alpha )}$ является сопряжённым к ${\displaystyle \alpha }$, так как любой автоморфизм переводит корни данного многочлена из ${\displaystyle K[x]}$ снова в корни. Обратно, любой элемент ${\displaystyle \beta }$, сопряжённый к ${\displaystyle \alpha }$, имеет такой вид: это значит, что группа ${\displaystyle G}$ действует транзитивно на множестве сопряжённых элементов. Следовательно, по неприводимости минимального многочлена, ${\displaystyle K(\alpha )}$ K-изоморфно ${\displaystyle K(\beta )}$. Следовательно, отношение сопряжённости симметрично.

Теорема Кронекера утверждает, что любое алгебраическое целое число, такое что его модуль и модуль всех сопряжённых ему в поле комплексных чисел равен 1, является корнем из единицы.

• Minimal polynomial (англ.) на сайте PlanetMath.
• Weisstein, Eric W. Conjugate Elements на сайте Wolfram MathWorld.
• Pinter, Charles C. A Book of Abstract Algebra. Dover Books on Mathematics Series. Dover Publications, 2010, p. 270—273. — ISBN 978-0-486-47417-5