В детстве помимо плавания серьёзно занимался горнолыжным спортом, в 9 лет получив второй взрослый разряд[4]. Однако его первый тренер, А. Н. Капралов, убедил выбрать плавание, разглядев в нём потенциал. Из-за недостаточных возможностей для тренировок и реализации своего таланта Минаков в 2013 году перешёл из спортшколы «Комета» к В. М. Луговкину[4]. Под руководством нового наставника определился со своей специализацией — плавание баттерфляем. В 2015 году одержал свою первую победу, выиграв соревнования «Весёлый дельфин». С 2017 года тренер — Н. В. Луговкин[4].
В 2017 году стал одним из открытий сезона: на первенстве России в Саранске выиграл шесть золотых медалей, две из которых в личных видах программы (100 м вольным стилем и баттерфляем). На следующем крупном старте — Европейском юношеском олимпийском фестивале — одержал победы в шести дисциплинах. Был включён в состав сборной России на первенство мира, которое состоялось в Индианаполисе (США). На юниорском чемпионате мира завоевал три медали — бронзу на стометровке баттерфляем, серебро на дистанции вдвое короче и золото в комбинированной эстафете.
В следующем сезоне на первенстве Европы среди юниоров выиграл пять золотых и две серебряные награды. Представлял сборную России на III юношеских Олимпийских играх в Буэнос-Айресе, на которых завоевал шесть золотых медалей (три из них в личных заплывах — 50 и 100 м баттерфляем, а также стометровка вольным стилем) и одно серебро, что позволило ему стать наряду с Климентом Колесниковым самым титулованным спортсменом соревнований. Среди результатов особо выделяется победа на дистанции 100 метров баттерфляем, на которой он обыграл чемпиона Европы венгра Криштофа Милака и установил новый рекорд страны — 51,12 с[5].
В 2019 году впервые выиграл взрослый чемпионат России на своей коронной дистанции[уточнить] и отобрался на чемпионат мира. На главном старте сезона стал серебряным призёром, выступив в предварительном заплыве «кролевой» эстафеты 4×100 метров. Несколько дней спустя обновил рекорд России на дистанции 100 м баттерфляем, став первым россиянином, которому удалось выплыть из 51 секунды (50,94)[6]. В финальном заплыве вновь побил своё высшее достижение (50,83) и стал серебряным призёром на своей коронной дистанции[уточнить], уступив только рекордсмену мира американцу Калебу Дресселу[7]. На следующий день Минаков выиграл свою третью награду чемпионата мира, став бронзовым медалистом в комбинированной эстафете 4×100 м.
В мае 2021 года на чемпионате Европы, который состоялся в Будапеште, Минаков в эстафете 4х100 метров в/с стал чемпионом Европы. На дистанции 100 метров вольным стилем завоевал бронзовую медаль, проплыв в финале за 47,74 секунды.