Линейная логика (англ. linear logic) — подструктурная логика, предложенная Жан-Ивом Жираром^[англ.] как уточнение классической и интуиционистской логики, объединяющая двойственность первой со многими конструктивными свойствами последней^[1], введена и используется для логических рассуждений, учитывающих расход некоторого ресурса^[2]. Хотя логика также изучалась сама по себе, идеи линейной логики находят применения во множестве приложений, вычисления в которых требуют учёта ресурсов, в том числе для верификации сетевых протоколов, языки программирования, теория игр (игровая семантика)^[2] и квантовая физика (поскольку линейную логику можно рассматривать как логику квантовой теории информации)^[3], лингвистика^[4].

Язык классической линейной логики (англ. classic linear logic, CLL) может быть описан в форме Бэкуса — Наура:

A ::= p ∣ p^⊥ | A ⊗ A ∣ A ⊕ A | A & A ∣ A ⅋ A | 1 ∣ 0 ∣ ⊤ ∣ ⊥ |  !A ∣ ?A

Где

• p и p^⊥ — атомарные формулы,

• логические связки и константы:

Бинарные связки ⊗, ⊕, & и ⅋ ассоциативны и коммутативны.

Каждое утверждение A в классической линейной логике имеет двойственное A^⊥, определяемое следующим образом:

В линейной логике (в отличие от классической) посылки часто рассматриваются как расходуемые ресурсы, поэтому выведенная или начальная формула может быть ограничена по числу использований.

Мультипликативная конъюнкция ⊗ аналогична операции сложения мультимножеств и может выражать объединение ресурсов.

Следует отметить, что (.)^⊥ является инволюцией, то есть, A^⊥⊥ = A для всех утверждений. A^⊥ также называется линейным отрицанием A.

Линейная импликация играет большую роль в линейной логике, хотя она и не включена в грамматику связок. Может быть выражена через линейное отрицание и мультипликативную дизъюнкцию

A ⊸ B := A^⊥ ⅋ B.

Связку ⊸ иногда называют «леденец на палочке» (англ. lollipop) из-за характерной формы.

Линейную импликацию можно использовать в выводе при наличии ресурсов в ее левой части, а в результате получаются ресурсы из правой линейной импликации. Данное преобразование задает линейную функцию, что и дало начало термину «Линейная логика»^[5].

Модальность «конечно» (!) позволяет обозначить ресурс как неисчерпаемый.

Пример. Пусть D обозначает доллар, а C — плитку шоколада. Тогда покупку плитки шоколада можно обозначить как D ⊸ C. Покупку можно выразить следующим выводом: D⊗ !(D ⊸ C) ⊢ C⊗!(D ⊸ C), то есть, что доллар и возможность купить на него шоколадку приводят к шоколадке, а возможность купить шоколадку сохраняется^[5].

В отличие от классической и интуиционистской логик, линейная логика имеет два вида конъюнкций, что позволяет выражать ограниченность ресурсов. Добавим к предыдущему примеру возможность покупки леденца L. Выразить возможность покупки шоколадки или леденца можно выразить с помощью аддитивной конъюнкции^[6]:

D ⊸ L & C

Разумеется, выбрать можно только что-то одно. Мультипликативная конъюнкция обозначает присутствие обоих ресурсов. Так, на два доллара можно купить и шоколадку, и леденец:

D ⊗ D ⊸ L ⊗ C

Мультипликативная дизъюнкция A ⅋ B может пониматься как «если не А, так B», а выражаемая через неё линейная импликация A ⊸ B в таком случае имеет смысл «может ли B быть выведена из A ровно один раз?»^[6]

Аддитивная дизъюнкция A ⊕ B обозначает возможность как A, так и B, но выбор не за вами^[6]. Например, беспроигрышную лотерую, где можно выиграть леденец или шоколадку, можно выразить с помощью аддитивной дизъюнкции:

D ⊸ L ⊕ C

Помимо полной линейной логики находят применение её фрагменты^[7]:

• LL: разрешены все связки
• MLL: только мультипликативы (⊗, ⅋)
• MALL: только мультипликативы и аддитивы (⊗, ⅋, ⊕, &)
• MELL: только мультипликативы и экспоненциалы (⊗, ⅋, !, ?)

Разумеется, этим списком не исчерпываются все возможные фрагменты. Например, возможны различные Хорн-фрагменты, которые используют линейную импликацию (по аналогии с хорновскими дизъюнктами) в сочетаниях с различными связками.^[8]

Фрагменты логики интересуют исследователей с точки зрения сложности их вычислительной интерпретации. В частности, М. И. Канович доказал, что полный MLL-фрагмент является NP-полным, а ⊕-хорновский фрагмент линейной логики с правилом ослабления^[англ.] (англ. weakening rule) PSPACE-полон. Это можно проинтерпретировать как то, что управление использованием ресурсов — трудная задача даже в простейших случаях.^[8]

Один из способов определения линейной логики — это исчисление секвенций. Буквы Γ и ∆ обозначают списки предложений ${\displaystyle A_{1},...,A_{n}}$, и называются контекстами. В секвенции контекст помещается слева и справа от ⊢ («следует»), например: ${\displaystyle \Gamma \vdash \Delta }$. Ниже приведено исчисление секвенций для MLL в двустороннем формате^[7].

Структурное правило — перестановка. Задано соответственно левое и правое правила вывода:

${\displaystyle {\cfrac {\Gamma ,A,B,\Gamma '\vdash \Delta }{\Gamma ,B,A,\Gamma '\vdash \Delta }}\;{\text{exL}}\qquad {\cfrac {\Gamma \vdash \Delta ,A,B,\Delta '}{\Gamma \vdash \Delta ,B,A,\Delta '}}\;{\text{exR}}}$

Тождество и сечение:

${\displaystyle {\cfrac {\cdot }{A\vdash A}}\;{\text{I}}\qquad {\cfrac {\Gamma \vdash \Sigma ,A,\Delta \qquad \Gamma ',A,\Sigma '\vdash \Delta '}{\Gamma ,\Gamma ',\Sigma '\vdash \Sigma ,\Delta ,\Delta '}}\;{\text{Cut}}}$

Мультипликативная конъюнкция:

${\displaystyle {\cfrac {\Gamma ,A,B\vdash \Delta }{\Gamma ,A\otimes B\vdash \Delta }}\;\otimes {\text{L}}\qquad {\cfrac {\Gamma \vdash A,\Delta \qquad \Gamma '\vdash B,\Delta '}{\Gamma ,\Gamma '\vdash A\otimes B,\Delta ,\Delta '}}\;\otimes {\text{R}}}$

Мультипликативная дизъюнкция:

${\displaystyle {\cfrac {\Gamma ,A\vdash \Delta \qquad \Gamma ',B\vdash \Delta '}{\Gamma ,\Gamma ',A{\text{⅋}}B\vdash \Delta ,\Delta '}}\;{\text{⅋L}}\qquad {\cfrac {\Gamma \vdash A,B,\Delta }{\Gamma \vdash A{\text{⅋}}B,\Delta }}\;{\text{⅋R}}}$

Отрицание:

${\displaystyle {\cfrac {\Gamma \vdash A,\Delta }{\Gamma ,A^{\bot }\vdash \Delta }}\;\bot {\text{L}}\qquad {\cfrac {\Gamma ,A\vdash \Delta }{\Gamma \vdash A^{\bot },\Delta }}\;\bot {\text{R}}}$

Аналогичные правила можно определить для полной линейной логики, её аддитивов и экспоненциалов. Обратите внимание, что в линейную логику не добавлены структурные правила ослабления и сокращения, так как в общем случае утверждения (и их копии) не могут произвольно появляться и исчезать в секвенциях, как это принято в классической логике.

• Ломазова И. А. 6.5. Вложенные сети Петри и Линейная логика // Вложенные сети Петри: моделирование анализ распределенных систем с объектной структурой. — М.: Научный мир, 2004. — С. 175—185. — 208 с. — ISBN 5-89176-247-1.
• Patrick Lincoln. Linear logic // ACM SIGACT News. — 1992. — Т. 23, № 2 (май).
• Emmanuel Beffara. Introduction to linear logic  (неопр.) (2013).

• Linear Logic, Stanford Encyclopedia of Philosophy