Конхоидное преобразование

Конхоидное преобразование

Конхо́идное преобразова́ние (англ. conchoidal transform, от др.-греч. κονχοειδής — похожий на раковину) — точечное преобразование плоскости, переводящее точку в конхоиду — точку, радиус-вектор которой увеличен или уменьшен на постоянную величину относительно радиус-вектора исходной точки[1].

Если полюс бесконечно удалён, то конхоидное преобразование вырождается в параллельный перенос с фиксированным направлением.

При нулевом радиус-векторе конхоидное преобразование не определено.

Уравнения конхоидного преобразования

Если координаты исходной точки в полярной системе координат то координаты преобразованной то есть уравнение конхоидного преобразования имеет следующий вид (см. рисунок справа вверху в начале статьи)[1][2]:

Начало радиус-вектора называется полюсом конхоиды (в данном случае это начало координат ), а постоянная величина приращения радим-вектора модулем конхоиды[2]. Направление радиус-вектора называется направлением конхоиды.

Конхоидные преобразования с фиксированным полюсом и направлением образуют:

  • точки вещественной прямой с координатами ;
  • абелеву группу, изоморфную группе параллельных переносов , то есть группе сложения вещественных чисел, поскольку выполняются два свойства этого преобразования[3]:
  • композиция двух конхоидных преобразований есть конхоидное преобразование:
  • преобразование, обратное конхоидному преобразованию , есть конхоидное преобразование :

Конхоидные преобразования только с фиксированным полюсом образуют точки проективно-вещественной плоскости с координатами и не образуют группу, поскольку конхоидные преобразования с фиксированными полюсом и разными направлениями не образуют композиции.

На комплексной плоскости уравнение конхоидного преобразования с полюсом в начале координат имеет следующий вид (см. рисунок справа вверху)[1]:

где единичный вектор, определяющий направление конхоидного преобразования от полюса к произвольной точке плоскости

Обычное уравнение конхоидного преобразования с полюсом в начале координат произвольной точки декартовой плоскости имеет следующий вид:

где единичный вектор, определяющий направление конхоидного преобразования от полюса к произвольной точке пространства (см. рисунок справа вверху).

На декартовой плоскости конхоидное преобразование с полюсом в начале координат имеет следующий параметрический вид как декартовых координат конхоиды (см. рисунок справа вверху)[4][5]:

а с произвольным полюсом — более сложный параметрический вид[5]:

Конхоидное преобразование кривых

Конхоидное преобразование используется для образования новых плоских кривых — конхоид из исходных — директрис[6], или базисов[7]. В этом случае его уравнение могут записать в виде

где — уравнение директрисы. и говорить о ветвях конхоиды, которые соответствуют прибавлению и вычитанию положительной константы к координатам соответствующим точкам — максимальному количеству точек пересечения директрисы с произвольной прямой . Обычно рассматривают случаи с [1][2][8][4][5].

Например, конхоида Никомеда как конхоида прямой и улитка Паскаля как конхоида окружности с полюсом на окружности относятся к случаю а конхоида конхоиды — вторая конхоида — и конхоида окружности, когда полюс не лежит на окружности — к случаю

При конхоида совпадает со своей директрисой, а при — с бесконечно удалёнными точками на окружности бесконечного радиуса.

При угол выбирается по непрерывности конхоиды.

Конхоиды с фиксированным полюсом, аналогично точечным конхоидным преобразованиям, образуют (если ветвей несколько, то берётся нужная):

  • точки вещественной прямой с координатами ;
  • коммутативную группу, изоморфную группе параллельных переносов , то есть группе сложения вещественных чисел, поскольку выполняются два свойства этого преобразования[3]:

Когда обе ветви конхоиды совпадают, то есть совпадают кривые

директриса называется минимальной конхоидой, поскольку любая конхоида с этой первоначальной директрисой не может быть «меньше» минимальной конхоиды: для любой первой конхоиды минимальной директрисы

две из четырёх ветвей второй конхоиды (с первой конхоидой как директрисой)

совпадают друг с другом и с исходной первой конхоидой.

Например, минимальная конхоида — базовая окружность улитки Паскаля.

Общее конхоидное преобразование

Общее конхоидное преобразование

В общем случае полюс конхоидного преобразования может быть произвольным, то есть уравнение конхоидного преобразования на комплексной плоскости имеет следующий вид (см. рисунок справа):

где — полюс; — модуль; единичный вектор, определяющий направление конхоидного преобразования от полюса к произвольной точке плоскости

Если полюс бесконечно удалён, то конхоидное преобразование вырождается в параллельный перенос.

При нулевом радиус-векторе конхоидное преобразование не определено.

Два конхоидных преобразования и действующие на одной прямой, эквивалентны на прямой, если результаты их действия совпадают, то есть если равны их модули и направления (полюса могут различаться):

коллинеарны.

Конхоидные преобразования , действующие на одной прямой, с точностью до эквивалентных преобразований образуют:

  • точки вещественной прямой с координатами ;
  • абелеву группу, изоморфную группе параллельных переносов , то есть группе сложения вещественных чисел.

Два произвольных конхоидных преобразования и эквивалентны, если результаты их действия совпадают, то есть если равны их модули и направления (полюса могут различаться):

Конхоидные преобразования одинакового направления с точностью до эквивалентных преобразований образуют точки вещественной плоскости с координатами и не образуют группу, поскольку конхоидные преобразования одного направления, не лежащие на одной прямой, не образуют композиции.

Конхоидное преобразование имеет обратное преобразование

а также композиция двух конхоидных преобразований есть снова конхоидное преобразование, так как сумма комплексных чисел есть снова комплексное число:

другими словами, конхоидные преобразования с точностью до эквивалентных преобразований образуют коммутативную группу, изоморфную группе параллельных переносов , то есть группе сложения радиус-векторов плоскости, поскольку выполняются эти два групповые свойства[3].

Конхоидное преобразование в многомерном пространстве

Уравнение общего конхоидного преобразования произвольной точки -мерного декартового пространства имеет следующий вид:

где — полюс; — модуль; единичный вектор, определяющий направление конхоидного преобразования от полюса к произвольной точке пространства

Если полюс бесконечно удалён, то конхоидное преобразование вырождается в параллельный перенос.

При нулевом радиус-векторе конхоидное преобразование не определено.

Два конхоидных преобразования и действующие на одной прямой, эквивалентны на прямой, если результаты их действия совпадают, то есть если равны их модули и направления (полюса могут различаться):

коллинеарны.

Конхоидные преобразования , действующие на одной прямой, с точностью до эквивалентных преобразований образуют:

  • точки вещественной прямой с координатами ;
  • абелеву группу, изоморфную группе параллельных переносов , то есть группе сложения вещественных чисел.

Два конхоидных преобразования и эквивалентны, если результаты их действия совпадают, то есть если равны их модули и направления (полюса могут различаться):

Конхоидные преобразования одинакового направления с точностью до эквивалентных преобразований образуют точки -мерного вещественного пространства с координатами

и не образуют группу, поскольку конхоидные преобразования одного направления, не лежащие на одной прямой, не образуют композиции.

Конхоидное преобразование имеет обратное преобразование

а также композиция двух конхоидных преобразований есть снова конхоидное преобразование, так как сумма радиус-векторов есть снова радиус-вектор:

другими словами, конхоидное преобразование с точностью до эквивалентных преобразований образует коммутативную группу, изоморфную группе параллельных переносов , то есть группе сложения радиус-векторов пространства, поскольку выполняются эти два групповые свойства[3].

Примечания

  1. 1 2 3 4 Zwikker C. The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963, XI. Pedals and other derived curves. 3. Limacon, conchoid, с. 154; 287.
  2. 1 2 3 Ferréol Robert. Conchoid, 2017.
  3. 1 2 3 4 Ефимов Н. В. Высшая геометрия, 2004, 157. Группы преобразований, с. 409.
  4. 1 2 jan wassenaar conchoid, 2013.
  5. 1 2 3 Weisstein Eric W. Conchoid, 2024.
  6. Zwikker C. The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963, XI. Pedals and other derived curves. 3. Limacon, conchoid, с. 154.
  7. Савелов А. А. Плоские кривые, 1960, § 1. Конхоида Никомеда, с. 104.
  8. Савелов А. А. Плоские кривые, 1960, § 1. Конхоида Никомеда, с. 100.

Источники

Read other articles:

Jincheng (bahasa Tionghoa: 晋城; pinyin: Jìnchéng) ialah kota setingkat prefektur di provinsi Shanxi, Tiongkok. Jincheng merupakan kota industri di area di mana pertambangan batu bara merupakan industri penting. Sayangnya, karena hal itulah kota ini tercemar. Kota ini merupakan perwakilan Tiongkok yang baik yang mencoba berubah dari kota agraris menjadi industri. Ada sedikit orang Barat di kota ini dengan pengecualian orang Eropa yang bekerja sebagai penasihat di industri tambang. Kota i...

 

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada November 2022. The Great MyanmarNama lainBurmaကြီးမြတ်သောမြန်မာ SutradaraJae Sung JeonyAung Kyaw MoeProduserAung Kyaw MoeSkenarioPhyo Thinzar KyawPemeranYe AungNine NineHtike San MossWarso Moe OoPenata musikTha OPerusaha...

 

American comic book publisher This article is about the publisher. For the publication, see Archie (comic book). Archie Comic Publications, Inc.Founded1939; 85 years ago (1939) (as MLJ Magazines)Founders Maurice Coyne Louis Silberkleit John L. Goldwater Country of originUnited StatesHeadquarters locationPelham, New YorkKey people Nancy Silberkleit (Co-CEO)[1] Victor Gorelick (editor-in-chief)[2] Jon Goldwater (CEO, publisher) Roberto Aguirre-Sacasa (chief cre...

Ini adalah daftar katedral di Aruba. Pro-Katedral Oranjestad Katolik Katedral Gereja Katolik di Aruba:[1] Katedral Santo Fransiskus dari Assisi, Oranjestad Lihat juga Gereja Katolik Roma Gereja Katolik di Aruba Daftar katedral Referensi ^ Keuskupan Willemstad lbsDaftar katedral di Amerika SelatanNegara berdaulat Argentina Bolivia Brasil Chili Ekuador Guyana Kolombia Paraguay Peru Suriname Trinidad dan Tobago Uruguay Venezuela Dependensi danwilayah lain Aruba Bonaire Curaçao Kepulauan...

 

River in Yakutia, RussiaSartangBasin of the Yana.Native nameСартаҥ (Yakut)LocationCountryYakutia, RussiaPhysical characteristicsSource  • elevation2,295 m (7,530 ft) MouthYana • locationConfluence with the Dulgalakh • coordinates67°27′33″N 133°14′56″E / 67.4591°N 133.2489°E / 67.4591; 133.2489 • elevation132 m (433 ft)Length620 km (390 mi)Basin...

 

Untung SyamsuriUntung saat diadili di Jakarta pada tahun 1966 Informasi pribadiLahir(1926-07-03)3 Juli 1926Kebumen, Jawa Tengah, Hindia BelandaMeninggalSeptember 1967Cimahi, Jawa Barat, IndonesiaKarier militerPihak Kekaisaran Jepang (1943—1945) Indonesia (1945—1965)Dinas/cabang PETA (1943—1945) TNI Angkatan Darat (1945—1965)Masa dinas1943—1965Pangkat Letnan KolonelKomandoResimen TjakrabirawaPertempuran/perangRevolusi Nasional IndonesiaGerakan 30 SeptemberSunting kotak...

ロバート・デ・ニーロRobert De Niro 2011年のデ・ニーロ生年月日 (1943-08-17) 1943年8月17日(80歳)出生地 アメリカ合衆国・ニューヨーク州ニューヨーク市身長 177 cm職業 俳優、映画監督、映画プロデューサージャンル 映画、テレビドラマ活動期間 1963年 -配偶者 ダイアン・アボット(1976年 - 1988年)グレイス・ハイタワー(1997年 - )主な作品 『ミーン・ストリート』(1973年)...

 

Legislature of the State of Israel For Beit Knesset, a Jewish place of worship, see Synagogue. For the Knesset neighborhood in Nachlaot, see Knesset Yisrael. The Knesset הכנסת‎الكنيست‎25th KnessetTypeTypeUnicameral LeadershipSpeakerAmir Ohana, Likud since 29 December 2022 Prime MinisterBenjamin Netanyahu, Likud since 29 December 2022 Leader of the OppositionYair Lapid, Yesh Atid since 2 January 2023[1] StructureSeats120Political groupsGovernment (6...

 

Vous lisez un « bon article » labellisé en 2016. Odéon antique de LyonVue d'ensemble depuis l'orchestra.PrésentationType OdéonPériode IIe siècle, Ier siècleStyle Architecture romaineConstruction fin du Ier siècle / début du IIe siècleDiamètre 73 mPropriétaire Ville de LyonPatrimonialité Classé MH (1905, 1905, 1933, 1933, 1935)LocalisationPays FranceCommune LyonQuartier Fourvière (5e)Adresse Rue de l'AntiquailleAccès et transportMétro  Coordonn...

FOSL1 المعرفات الأسماء المستعارة FOSL1, FRA, FRA1, fra-1, FOS like 1, AP-1 transcription factor subunit معرفات خارجية الوراثة المندلية البشرية عبر الإنترنت 136515 MGI: MGI:107179 HomoloGene: 3967 GeneCards: 8061 علم الوجود الجيني الوظيفة الجزيئية • ربط دي إن إي• RNA polymerase II transcription regulatory region sequence-specific DNA binding• ‏GO:0001131، ‏GO:0001151، ‏GO:...

 

Cet article est une ébauche concernant un physicien américain. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. Jerome Isaac FriedmanBiographieNaissance 28 mars 1930 (94 ans)Chicago (Illinois)Nationalité américaineFormation Université de ChicagoUniversité StanfordJohn Marshall Metropolitan High School (en)Activités Physicien, professeur d'universitéAutres informationsA travaillé pour Massachusetts I...

 

American anti-nuclear activist (1933–2022) The ReverendCarl KabatObl.OMIKabat in 2008 at the Catholic Worker National GatheringBorn(1933-10-10)October 10, 1933Scheller, Illinois, U.S.DiedAugust 4, 2022(2022-08-04) (aged 88)San Antonio, Texas, U.S.OccupationsPriestmissionaryactivistOrganizationMissionary Oblates of Mary ImmaculateMovementPlowshares movementAnti-nuclear movement Carl K. Kabat OMI (October 10, 1933 – August 4, 2022) was an American priest of the Catholic religious order...

Geometric sans-serif typeface FuturaCategorySans-serifClassificationGeometricDesigner(s)Paul RennerFoundryBauer Type Foundry (Bauersche Gießerei)Date created1927Re-issuing foundriesIntertypeShown hereFutura LT Futura is a geometric sans-serif typeface designed by Paul Renner and released in 1927.[1] It was designed as a contribution on the New Frankfurt-project. It is based on geometric shapes, especially the circle, similar in spirit to the Bauhaus design style of the period.[2&...

 

Japanese figure skater Haruka ImaiImai at the 2010 Skate Canada InternationalBorn (1993-08-31) August 31, 1993 (age 30)Tokyo, JapanHeight1.59 m (5 ft 3 in)Figure skating careerCountryJapanCoachRumiko MichigamiSkating clubNiigata Skating FederationBegan skating2003RetiredMarch 2, 2018[1] Medal record Representing  Japan Figure skating: Ladies' singles Asian Winter Games 2011 Astana-Almaty Ladies' singles Haruka Imai (今井 遥, Imai Haruka, born August 31, 199...

 

Наукова бібліотека Інституту політичних і етнонаціональних досліджень ім. І. Ф. Кураса НАН УкраїниКраїна:  УкраїнаТип: наукова бібліотека[d]Складова Інститут політичних і етнонаціональних досліджень ім. І. Ф. Кураса НАН України Наукова бібліотека Інституту політич�...

هذه القائمة غير مكتملة. فضلاً ساهم في تطويرها بإضافة مزيد من المعلومات ولا تنسَ الاستشهاد بمصادر موثوق بها. لا تذكر زمن وقصة المثليين والمثليات - ولا تذكر زمن ظهور الإسلام وتأثيره الكبير. تسرد هذه المقالة التسلسل الزمني لتاريخ المثليين والمثليات ومزدوجي التوجه الجنسي والم...

 

American artist and first lady of Maryland Yumi Hogan호건 유미Hogan in 2022First Lady of MarylandIn roleJanuary 21, 2015 – January 18, 2023GovernorLarry HoganPreceded byKatie O'MalleySucceeded byDawn Moore Personal detailsBornYumi Park (1959-12-25) December 25, 1959 (age 64)Naju, South KoreaSpouse Larry Hogan ​(m. 2004)​Children3EducationMaryland Institute College of Art (BFA)American University (MFA)AwardsEllis Island Medal of Honor (2017) Bir...

 

Disambiguazione – Se stai cercando altri significati, vedi Serial killer (disambigua). Questa voce o sezione sull'argomento psicologia è priva o carente di note e riferimenti bibliografici puntuali. Sebbene vi siano una bibliografia e/o dei collegamenti esterni, manca la contestualizzazione delle fonti con note a piè di pagina o altri riferimenti precisi che indichino puntualmente la provenienza delle informazioni. Puoi migliorare questa voce citando le fonti più precisamente. Segu...

Republic of Ireland–United Kingdom borderA map showing the borderCharacteristicsEntities Ireland  United KingdomLength499 km (310 mi)HistoryEstablished3 May 1921 (1921-05-03)Government of Ireland Act 1920 (Partition of Ireland)Current shape7 December 1922 (1922-12-07)Northern Ireland opt out of the Free StateTreatiesAnglo-Irish TreatyNorthern Ireland Protocol(as part of the Brexit Withdrawal Agreement)NotesOpen border not officially marked ...

 

American college football season 1946 New Hampshire Wildcats footballYankee Conference co-championConferenceYankee ConferenceRecord6–1–1 (3–0–1 Yankee)Head coachBill Glassford (1st season)CaptainRalph Pino[1]Home stadiumLewis FieldSeasons← 19441947 → 1946 Yankee Conference football standings vte Conf Overall Team W   L   T W   L   T New Hampshire + 3 – 0 – 1 6 – 1 – 1 Connecticut + 2 – 0 – ...