Конгруэнцией в общей алгебре называют отношение эквивалентности на алгебраической структуре (такой как группа, кольцо или векторное пространство), согласующееся с алгебраическими операциями, определёнными на указанной структуре. Согласованность означает, что выполнение операций над эквивалентными (относительно конгруэнции) элементами структуры даст также эквивалентные элементы. Понятие играет важную роль в универсальной алгебре: всякая конгруэнция порождает соответствующую фактор-структуру со сходными операциями, носителем которой будет фактормножество, чьи элементы — классы эквивалентности исходной структуры по отношению к конгруэнции.

Основным примером конгруэнции является отношение сравнимости по модулю на множестве целых чисел. При заданном натуральном n (называемом модулем) говорят, что два целых числа a и b сравнимы по модулю n, если разность a – b делится на n или, что равносильно, a и b дают при делении на n равные остатки. Если числа a и b сравнимы по некоторому модулю n это обозначается a ≡ b (mod n). Например, числа 37 и 57 сравнимы по модулю 10 (37 ≡ 57 (mod 10)), поскольку 37 – 57 = −20 делится на 10 (это эквивалентно тому, что 37 и 57 дают при делении на 10 один и тот же остаток 7). Свойства сравнимости по модулю показывают, что, во-первых, сравнимость — отношение эквивалентности, и, во-вторых, что оно согласовано как со сложением так и с умножением целых чисел: если a₁ ≡ b₁ (mod n) и a₂ ≡ b₂ (mod n), то a₁ + a₂ ≡ b₁ + b₂ (mod n) и a₁ · a₂ ≡ b₁ · b₂ (mod n) для любых целых a₁ , a₂ , b₁ , b₂. Это значит, что над соответствующими классами эквивалентности — классами вычетов (по модулю n) — также выполнимы операции сложения и умножения, составляющие так называемую модульную арифметику: [a]_n + [b]_n = [a + b]_n , [a]_n · [b]_n = [a · b]_n ([x]_n — класс целых чисел, сравнимых с числом x по модулю n). С точки зрения абстрактной алгебры это будет звучать так: сравнимость по модулю n есть конгруэнция на кольце целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, порождающая фактор-кольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} {\mathord {/}}n\mathbb {Z} }$ — конечное кольцо вычетов по модулю n, — на котором выполняются операции модульной арифметики.

Отношение ${\displaystyle \theta (x_{1},\ldots ,x_{m})}$ на множестве ${\displaystyle A}$ называется стабильным относительно ${\displaystyle n}$-арной операции ${\displaystyle f}$, определённой на этом множестве, если для любых элементов ${\displaystyle a_{i1},\ldots ,a_{im}}$ (${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$) множества ${\displaystyle A}$ из истинности отношений ${\displaystyle \theta (a_{i1},\ldots ,a_{im})}$ (${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$) вытекает истинность отношения ${\displaystyle \theta (f(a_{11},\ldots ,a_{n1}),\ldots ,f(a_{1m},\ldots ,a_{nm}))}$.

Отношение ${\displaystyle \theta }$ называется конгруэнцией на алгебраической системе ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$, если оно стабильно относительно каждой главной операции системы ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$. (При таком определении понятие конгруэнции не зависит от основных отношений системы ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$.)

Для алгебраической системы ${\displaystyle {\mathfrak {A}}=(A,{\mathit {\Phi }},{\mathit {\mathrm {P} }})}$ на фактормножестве ${\displaystyle A/\theta }$ по конгруэнции ${\displaystyle \theta \subseteq A^{2}}$ для всех операций ${\displaystyle f_{i}\in {\mathit {\Phi }}}$ и отношений ${\displaystyle r_{i}\in {\mathit {\mathrm {P} }}}$ естественным образом вводятся операции и отношения над соответствующими классами смежности:

${\displaystyle f_{i}^{\star }([a_{1}]_{\theta },\dots ,[a_{n}]_{\theta })=[f_{i}(a_{1},\dots ,a_{n})]_{\theta }}$,

${\displaystyle r_{i}^{\star }([a_{1}]_{\theta },\dots ,[a_{m}]_{\theta })\Leftrightarrow \exists (b_{1}\in [a_{1}]_{\theta },\dots ,b_{m}\in [a_{m}]_{\theta })r_{i}(b_{1},\dots ,b_{m})}$.

Получающаяся система обозначается ${\displaystyle {\mathfrak {A}}/\theta }$ и называется факторсистемой, а отображение ${\displaystyle h_{\theta }\colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {A}}/\theta }$, определяемое правилом ${\displaystyle h_{\theta }(a)=[a]_{\theta }}$ — каноническим эпиморфизмом.

Множество всех конгруэнций данной системы ${\displaystyle \mathrm {Con} ({\mathfrak {A}})}$ образует полную решётку относительно операций объединения и пересечения, а также задает отношение включения:

${\displaystyle \theta _{1}\leqslant \theta _{2}\Leftrightarrow \forall a,b\in A\,a\,\theta _{1}\,b\to a\,\theta _{2}\,b}$.

Для любого набора конгруэнций заданной алгебраической системы ${\displaystyle \{\theta _{i},i\in I\}\subseteq \mathrm {Con} ({\mathfrak {A}})}$ имеет место следующий результат (теорема Ремака): факторсистема по пересечению набора конгруэнций вкладывается в прямое произведение факторсистем по каждой из конгруэнций набора:

${\displaystyle {\mathcal {A}}/\bigcap _{i\in I}{\theta _{i}}\hookrightarrow \prod _{i\in I}{{\mathfrak {A}}/\theta _{i}}}$.

	В Викисловаре есть статья «конгруэнция»

• Артамонов В. А. . Глава VI. Универсальные алгебры // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 295—367. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.
• Мальцев, А. И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970. — 392 с. — 17 500 экз.

Для улучшения этой статьи желательно: Проставить сноски, внести более точные указания на источники. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.