Воспитанник «Сигмы» из Оломоуца, играл за её основной состав с 1997 года, в 2003 году перешёл в пражскую «Спарту», а в 2005 году — в московский «Спартак», в составе красно-белых Ковач трижды становился серебряным призёром российского чемпионата. Всего за «Спартак» чех провёл 140 официальных матчей (в том числе 101 матч в чемпионате России) и забил 13 мячей. В чемпионатах Чехии сыграл 173 матча, забил 6 мячей.
30 января 2009 года был отдан в аренду в «Вест Хэм Юнайтед» (Англия) до конца сезона 2008/09. 9 августа лондонский клуб смог выкупить Радослава за 3,8 млн евро[4]. С приходом на пост главного тренера «Вест Хэма» Авраама Гранта положение футболиста в клубе ухудшилось: «До начала нынешнего сезона у меня было отличное предложение от „Сток Сити“. Однако главный тренер Авраам Грант отказался отпускать меня и сказал, что нуждается в моих услугах. Несмотря на эти слова, я редко выходил на поле. Такой же сценарий повторился зимой — мне говорили, что буду регулярно играть, но на деле вышло иначе»[5].
24 июня 2011 года Ковач перешёл в швейцарский «Базель», подписав контракт на 2 года[6][7].
С начала сезона 2014/15 Ковач выступал за пражскую «Спарту»[8]. В мае 2016 года Ковач объявил о завершении карьеры[9].
19 июля 2008 года в матче с «Локомотивом» Ковач получил жёлтую карточку за удар по ногам выскочившего на поле фаната «Спартака»[10], в результате чего последний оказался не в силах самостоятельно вернуться на трибуну и в течение нескольких минут сидел возле рекламных щитов, а затем был уведён с поля милиционерами. Футболист так объяснял свой поступок:
Я не хотел никому делать больно. Мы только-только забили гол, завелись, побежали вперёд, и паузы в игре нам были ни к чему. А тут на поле выскакивает болельщик. И ладно, если б его сразу увели с поля — так нет же! Он бегает и бегает! Бегает и бегает! И такое ощущение, что всем плевать. Вот я и попытался его остановить. Хочу извиниться перед ним. Поймите, я не хотел сделать ему больно. Просто пауза и так слишком затянулась[11].
Главный арбитр матча Игорь Захаров заявил, что при вручении Ковачу карточки не исходил из правил игры, но руководствовался соображениями морали, отметив при этом, что футболист «не сделал ничего страшного — лишь поставил подножку болельщику. Я могу его понять: после гола своей команды он чувствовал эмоциональный подъём, ему не терпелось бежать в атаку забивать второй мяч». Также судья сказал, что сам намеревался остановить фаната, но Ковач его опередил, и добавил, что выбежавший на поле находился в «неадекватном» состоянии[12].
.svg){kind=small}
.svg){kind=small}
.svg){kind=small}
.svg){kind=small}
.svg){kind=small}
.svg){kind=small}
