PROFILPELAJAR.COM

Катастрофа голубого неба — особый тип бифуркации коразмерности 1 в теории динамических систем, при котором длина гиперболической периодической траектории при стремлении значения параметра к критическому неограниченно нарастает, и тем самым семейство таких траекторий не продолжается на предельное значение параметра. Название бифуркации появилось из словесного описания поведения траектории при бифуркации — всё удлиняясь, она в итоге «растворяется в голубом небе»^[1].

История

Пример динамической системы, зависящей от параметра, в которой при стремлении параметра к критическому длина некоторой периодической траектории стремится к бесконечности, был описан в 1967 году Фуллером^[2]. Однако, такой пример был описан в другом контексте, пройдя вне внимания специалистов^[3], и в 1974 году Палис и Пью поставили вопрос^[4] о существовании и типичности таких бифуркаций.

В работе 1980 года В. С. Медведев разбирает^[5] пример конкретной динамической системы, в которой происходит бифуркация голубого неба, отмечая, что как до, так и после бифуркации система оказывается грубой (т. е. структурно устойчивой). Наконец, в 1995 году, Д. Тураев и Л. Шильников предъявляют^[6] пример типичного однопараметрического семейства векторных полей в размерности 3, в котором происходит такая бифуркация. Такой пример показывает, что эта бифуркация имеет коразмерность 1, — иными словами, что она происходит при пересечении некоторой гиперповерхности в пространстве всех динамических систем.

Пример

Примечания

↑ Д. В. Аносов, «О развитии теории динамических систем Архивная копия от 10 февраля 2015 на Wayback Machine»
↑ Fuller, F., An index of fixed point type for periodic orbits. Amer. J. Math. 89 (1967) 133—148.
↑ В. С. Медведев, «О бифуркации „Катастрофа голубого неба“ на двумерных многообразиях», Матем. заметки, 51:1 (1992), 118—125. С. 118.
↑ J. Palis, C. Pugh, in: Fifty problems in dynamical systems, Dynamical systems — Warwick, 1974, Springer Lecture Notes 468, 1975.
↑ В. С. Медведев, «О новом типе бифуркаций на многообразиях», Матем. сб., 113(155):3(11) (1980), 487—492.
↑ Blue-sky catastrophe — Scholarpedia (неопр.). Дата обращения: 23 июня 2010. Архивировано 28 октября 2011 года.

Ссылки

Andrey Shilnikov, Dmitry Turaev (2007) Blue-sky catastrophe. Scholarpedia, 2(8):1889.
Ильяшенко Ю.С., Вейгу Л. Нелокальные бифуркации. — М.: МЦНМО-ЧеРо, 1999. — 416 с. — ISBN 5-900916-34-0.
Д. В. Тураев, Л. П. Шильников, «О катастрофах голубого неба», Докл. АН СССР, 342:5 (1995), 596—599.
Д. В. Аносов, «О развитии теории динамических систем».
В. С. Медведев, «О бифуркации „Катастрофа голубого неба“ на двумерных многообразиях», Матем. заметки, 51:1 (1992), 118—125.
В. С. Медведев, «О новом типе бифуркаций на многообразиях», Матем. сб., 113(155):3(11) (1980), 487—492.
J. Palis, C. Pugh, in: Fifty problems in dynamical systems, Dynamical systems — Warwick, 1974, Springer Lecture Notes 468, 1975.
Fuller, F. Brock, An index of fixed point type for periodic orbits. Amer. J. Math. 89 (1967) 133—148.