График интеграла Зиверта при различных θ
Интеграл Зиверта (интегральный секанс ) — специальная функция, возникающая в задачах о распространении излучения от протяжённого источника. Назван по имени шведского физика Рольфа Зиверта , который ввёл его в 1921 году[ 1] . Она представляет собой неберущийся интеграл:
F
(
θ θ -->
,
x
)
=
∫ ∫ -->
0
θ θ -->
e
− − -->
x
⋅ ⋅ -->
sec
-->
φ φ -->
d
φ φ -->
{\displaystyle F(\theta ,x)=\int _{0}^{\theta }{e^{-x\cdot \sec \varphi }}\,d{\varphi }}
Полный интеграл Зиверта связан с интегралом функций Бесселя
Ki
{\displaystyle \operatorname {Ki} }
:
F
(
π π -->
2
,
x
)
=
Ki
1
-->
(
x
)
=
∫ ∫ -->
x
∞ ∞ -->
K
0
(
t
)
d
t
{\displaystyle F\left({\frac {\pi }{2}},x\right)=\operatorname {Ki} _{1}(x)=\int _{x}^{\infty }K_{0}(t)\,dt}
где
K
0
(
x
)
{\displaystyle K_{0}(x)}
— функция Макдональда .
Существует два обобщения интеграла Зиверта:[ 2]
F
a
(
θ θ -->
,
x
)
=
x
a
∫ ∫ -->
0
θ θ -->
e
− − -->
x
⋅ ⋅ -->
sec
-->
φ φ -->
⋅ ⋅ -->
sec
a
-->
φ φ -->
d
φ φ -->
{\displaystyle F_{a}(\theta ,x)=x^{a}\int _{0}^{\theta }{e^{-x\cdot \sec \varphi }}\cdot \sec ^{a}{\varphi }\,d{\varphi }}
F
a
(
θ θ -->
,
x
,
y
)
=
x
a
∫ ∫ -->
0
θ θ -->
e
− − -->
x
⋅ ⋅ -->
sec
-->
φ φ -->
⋅ ⋅ -->
(
sec
-->
φ φ -->
)
a
⋅ ⋅ -->
(
tg
-->
φ φ -->
)
2
y
− − -->
1
d
φ φ -->
{\displaystyle F_{a}(\theta ,x,y)=x^{a}\int _{0}^{\theta }{e^{-x\cdot \sec \varphi }}\cdot (\sec \varphi )^{a}\cdot (\operatorname {tg} \varphi )^{2y-1}\,d{\varphi }}
где
a
⩾ ⩾ -->
0
,
x
>
0
,
0
<
θ θ -->
⩽ ⩽ -->
π π -->
2
{\displaystyle a\geqslant 0,x>0,0<\theta \leqslant {\frac {\pi }{2}}}
Примечания
Ссылки