Зако́ны Ке́плера — три эмпирических соотношения, установленные Иоганном Кеплером на основе длительных астрономических наблюдений Тихо Браге[1]. Изложены Кеплером в работах, опубликованных между 1609[2] и 1619[3] годами. Описывают идеализированную гелиоцентрическую орбиту планеты.
Соотношения Кеплера позволили Ньютону постулировать закон всемирного тяготения, который стал фундаментальным в классической механике. В её рамках законы Кеплера являются решением задачи двух тел в случае пренебрежимо малой массы планеты, то есть в предельном переходе m p / m s → → --> 0 {\displaystyle m_{p}/m_{s}\rightarrow 0} , где m p {\displaystyle m_{p}} , m s {\displaystyle m_{s}} — массы планеты и звезды соответственно.
Каждая планета Солнечной системы движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением e = c a {\displaystyle e={\frac {c}{a}}} , где c {\displaystyle c} — расстояние от центра эллипса до его фокуса (фокальное расстояние), a {\displaystyle {a}} — большая полуось. Величина e {\displaystyle e} называется эксцентриситетом эллипса. При c = 0 {\displaystyle c=0} , и, следовательно, e = 0 , {\displaystyle e=0,} эллипс превращается в окружность.
Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает собой равные площади.
Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий — наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.
Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает также, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.
Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей орбит планет.
где T 1 {\displaystyle T_{1}} и T 2 {\displaystyle T_{2}} — периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а a 1 {\displaystyle a_{1}} и a 2 {\displaystyle a_{2}} — длины больших полуосей их орбит. Утверждение справедливо также для спутников.
Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определённой массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен — в действительности в него входит и масса планеты:
где M {\displaystyle M} — масса Солнца, а m 1 {\displaystyle m_{1}} и m 2 {\displaystyle m_{2}} — массы планет.
Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.
Рассмотрим движение в полярных координатах ( r , θ θ --> ) {\displaystyle (r,\theta )} , центр которых совпадает с центром масс системы (приближенно, совпадает с Солнцем).
Пусть r {\displaystyle \mathbf {r} } — радиус-вектор к планете, за r ^ ^ --> = r / r {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} /r} обозначим единичный вектор, указывающий его направление. Аналогично введём θ θ --> ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}} — единичный вектор, перпендикулярный r {\displaystyle \mathbf {r} } , направленный в сторону увеличения полярного угла θ θ --> {\displaystyle \theta } . Запишем производные по времени, обозначая их точками:
Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что «каждый объект во Вселенной притягивает каждый другой объект по линии, соединяющей центры масс объектов, пропорционально массе каждого объекта, и обратно пропорционально квадрату расстояния между объектами». То есть ускорение имеет вид:
Или в координатной форме:
Во втором уравнении распишем θ θ --> ¨ ¨ --> {\displaystyle {\ddot {\theta }}} и r ˙ ˙ --> {\displaystyle {\dot {r}}} :
Избавляясь от времени и разделяя переменные, получим:
Интегрирование которого даст:
Полагая C = ln --> ℓ ℓ --> {\displaystyle C=\ln \ell } и упрощая логарифмы имеем окончательно
Константа ℓ ℓ --> {\displaystyle \ell } по смыслу является удельным угловым моментом ( ℓ ℓ --> = r × × --> v {\displaystyle \ell =\mathbf {r} \times \mathbf {v} } ). Мы показали, что в поле центральных сил он сохраняется.
Для работы с первым уравнением удобно произвести замену:
И переписать производные, попутно избавляясь от времени
Уравнение движения в направлении r ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}} тогда запишется:
Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с расстоянием как
где G {\displaystyle G} — универсальная гравитационная константа и M {\displaystyle M} — масса звезды.
В результате:
Это дифференциальное уравнение можно переписать в полных производных:
Избавляясь от которых получим:
И окончательно:
Разделив переменные и произведя элементарное интегрирование получим общее решение:
для констант интегрирования e {\displaystyle e} и θ θ --> 0 {\displaystyle \theta _{0}} , зависящих от начальных условий.
Заменяя u {\displaystyle u} на 1/ r {\displaystyle r} и вводя p = ℓ ℓ --> 2 G M {\displaystyle p={\frac {\ell ^{2}}{GM}}} , имеем окончательно:
Мы получили уравнение конического сечения с параметром p {\displaystyle p} и эксцентриситетом e {\displaystyle e} и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.
По определению момент импульса L {\displaystyle \mathbf {L} } точечного тела с массой m {\displaystyle m} и скоростью v {\displaystyle \mathbf {v} } записывается в виде:
где r {\displaystyle \mathbf {r} } — радиус-вектор тела, а p = m v {\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} } — его импульс. Площадь, заметаемая радиус-вектором r {\displaystyle \mathbf {r} } за время d t {\displaystyle dt} из геометрических соображений равна
где ϕ ϕ --> {\displaystyle \phi } представляет собой угол между векторами r {\displaystyle \mathbf {r} } и v {\displaystyle \mathbf {v} } .
При выводе первого закона было показано, что ℓ ℓ --> = c o n s t {\displaystyle \ell =const} . То же самое можно получить простым дифференцированием углового момента:
Последний переход объясняется равенством нулю векторного произведения колинеарных векторов. Действительно, сила здесь всегда направлена по радиус-вектору, тогда как импульс направлен вдоль скорости по определению.
Получили, что L {\displaystyle \mathbf {L} } не зависит от времени. Значит | L | {\displaystyle |\mathbf {L} |} постоянен, а следовательно и пропорциональная ей скорость заметания площади d S d t {\displaystyle {\frac {dS}{dt}}} — константа.
Второй закон Кеплера утверждает, что радиус-вектор обращающегося тела заметает равные площади за равные промежутки времени. Если теперь мы возьмём очень малые промежутки времени в момент, когда планета находится в точках P {\displaystyle P} (перигелий) и A {\displaystyle A} (афелий), то мы сможем аппроксимировать площадь треугольниками с высотами, равными расстоянию от планеты до Солнца, и основанием, равным произведению скорости планеты на время.
Используя закон сохранения энергии для полной энергии планеты в точках A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} , запишем
Теперь, когда нашли V B {\displaystyle V_{B}} , мы можем найти секторную скорость. Так как она постоянна, то можем выбрать любую точку эллипса: например, для точки B получим
Однако полная площадь эллипса равна π π --> a ( 1 − − --> ε ε --> 2 ) a {\displaystyle \pi a{\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a} (что равно π π --> a b {\displaystyle \pi ab} , поскольку b = ( 1 − − --> ε ε --> 2 ) a {\displaystyle b={\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a} ). Время полного оборота, таким образом, равно
Заметим, что если масса m {\displaystyle m} не пренебрежимо мала по сравнению с M {\displaystyle M} , то планета будет обращаться вокруг Солнца с той же скоростью и по той же орбите, что и материальная точка, обращающаяся вокруг массы M + m {\displaystyle M+m} (см. приведённая масса). При этом массу M {\displaystyle M} в последней формуле нужно заменить на M + m {\displaystyle M+m} :
Запишем закон сохранения момента импульса
где M — масса Солнца.
Решая систему, нетрудно получить соотношение на скорость планеты в точке «перигелий»:
Выразим секторную скорость (которая по второму закону Кеплера является постоянной величиной):
Вычислим площадь эллипса, по которому движется планета. С одной стороны:
где a {\displaystyle a} — длина большой полуоси, b {\displaystyle b} — длина малой полуоси орбиты.
С другой стороны, воспользовавшись тем, что для вычисления площади сектора можно перемножить секторную скорость на период оборота:
Следовательно,
Для дальнейших преобразований воспользуемся геометрическими свойствами эллипса. Имеем соотношения
Подставим в формулу площади эллипса:
Откуда окончательно получим:
или в традиционном виде
Lokasi Pengunjung: 18.217.168.218