Рассмотрим движение в полярных координатах ${\displaystyle (r,\theta )}$, центр которых совпадает с центром масс системы (приближенно, совпадает с Солнцем).

Пусть ${\displaystyle \mathbf {r} }$ — радиус-вектор к планете, за ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} /r}$ обозначим единичный вектор, указывающий его направление. Аналогично введём ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$ — единичный вектор, перпендикулярный ${\displaystyle \mathbf {r} }$, направленный в сторону увеличения полярного угла ${\displaystyle \theta }$. Запишем производные по времени, обозначая их точками:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что «каждый объект во Вселенной притягивает каждый другой объект по линии, соединяющей центры масс объектов, пропорционально массе каждого объекта, и обратно пропорционально квадрату расстояния между объектами». То есть ускорение имеет вид:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=f(r){\hat {\mathbf {r} }}.}$

Или в координатной форме:

${\displaystyle {\begin{cases}{\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=f(r),\\r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}=0;\end{cases}}}$

Во втором уравнении распишем ${\displaystyle {\ddot {\theta }}}$ и ${\displaystyle {\dot {r}}}$:

${\displaystyle r{d{\dot {\theta }} \over dt}+2{dr \over dt}{\dot {\theta }}=0,}$

Избавляясь от времени и разделяя переменные, получим:

${\displaystyle {\frac {d{\dot {\theta }}}{\dot {\theta }}}=-2{\frac {dr}{r}}.}$

Интегрирование которого даст:

${\displaystyle \ln {\dot {\theta }}=-2\ln r+C,}$

Полагая ${\displaystyle C=\ln \ell }$ и упрощая логарифмы имеем окончательно

${\displaystyle r^{2}{\dot {\theta }}=\ell }$

Константа ${\displaystyle \ell }$ по смыслу является удельным угловым моментом (${\displaystyle \ell =\mathbf {r} \times \mathbf {v} }$). Мы показали, что в поле центральных сил он сохраняется.

Для работы с первым уравнением удобно произвести замену:

${\displaystyle r={\frac {1}{u}},}$

И переписать производные, попутно избавляясь от времени

${\displaystyle {\dot {r}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\dot {u}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {du}{dt}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {du}{d\theta }}=-\ell {\frac {du}{d\theta }},}$

${\displaystyle {\ddot {r}}=-\ell {\frac {d}{dt}}{\frac {du}{d\theta }}=-\ell {\frac {d^{2}u}{dt\,d\theta }}\cdot {\frac {d\theta }{d\theta }}=-\ell {\dot {\theta }}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}=-\ell ^{2}u^{2}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}.}$

Уравнение движения в направлении ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ тогда запишется:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {1}{\ell ^{2}u^{2}}}f\left({\frac {1}{u}}\right).}$

Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с расстоянием как

${\displaystyle f\left({1 \over u}\right)=f(r)=-\,{GM \over r^{2}}=-GMu^{2}}$

где ${\displaystyle G}$ — универсальная гравитационная константа и ${\displaystyle M}$ — масса звезды.

В результате:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u={\frac {GM}{\ell ^{2}}}.}$

Это дифференциальное уравнение можно переписать в полных производных:

${\displaystyle {\frac {d}{du}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {du}{d\theta }}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}u^{2}\right)={\frac {d}{du}}\left({\frac {GM}{\ell ^{2}}}u\right)}$

Избавляясь от которых получим:

${\displaystyle \left({\frac {du}{d\theta }}\right)^{2}+u^{2}-{\frac {2GM}{\ell ^{2}}}u=C}$

И окончательно:

${\displaystyle {\frac {du}{d\theta }}=\pm {\sqrt {C+{\frac {2GM}{\ell ^{2}}}u-u^{2}}}}$

Разделив переменные и произведя элементарное интегрирование получим общее решение:

${\displaystyle u={\frac {GM}{\ell ^{2}}}\left[1+e\cos(\theta -\theta _{0})\right].}$

для констант интегрирования ${\displaystyle e}$ и ${\displaystyle \theta _{0}}$, зависящих от начальных условий.

Заменяя ${\displaystyle u}$ на 1/${\displaystyle r}$ и вводя ${\displaystyle p={\frac {\ell ^{2}}{GM}}}$, имеем окончательно:

${\displaystyle p=r\,(1+e\cos(\theta -\theta _{0}))}$

Мы получили уравнение конического сечения с параметром ${\displaystyle p}$ и эксцентриситетом ${\displaystyle e}$ и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.

По определению момент импульса ${\displaystyle \mathbf {L} }$ точечного тела с массой ${\displaystyle m}$ и скоростью ${\displaystyle \mathbf {v} }$ записывается в виде:

${\displaystyle \mathbf {L} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times (m\mathbf {v} )}$.

где ${\displaystyle \mathbf {r} }$ — радиус-вектор тела, а ${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$ — его импульс. Площадь, заметаемая радиус-вектором ${\displaystyle \mathbf {r} }$ за время ${\displaystyle dt}$ из геометрических соображений равна

${\displaystyle dS={\frac {1}{2}}r\sin \phi vdt={\frac {1}{2}}|\mathbf {r} \times \mathbf {v} |dt={\frac {\mathbf {|L|} }{2m}}dt={\frac {\ell }{2}}dt}$,

где ${\displaystyle \phi }$ представляет собой угол между векторами ${\displaystyle \mathbf {r} }$ и ${\displaystyle \mathbf {v} }$.

При выводе первого закона было показано, что ${\displaystyle \ell =const}$. То же самое можно получить простым дифференцированием углового момента:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=(\mathbf {r} \times \mathbf {F} )+\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)=(\mathbf {r} \times \mathbf {F} )+(\mathbf {v} \times \mathbf {p} )=0}$

Последний переход объясняется равенством нулю векторного произведения колинеарных векторов. Действительно, сила здесь всегда направлена по радиус-вектору, тогда как импульс направлен вдоль скорости по определению.

Получили, что ${\displaystyle \mathbf {L} }$ не зависит от времени. Значит ${\displaystyle |\mathbf {L} |}$ постоянен, а следовательно и пропорциональная ей скорость заметания площади ${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}}$ — константа.

Второй закон Кеплера утверждает, что радиус-вектор обращающегося тела заметает равные площади за равные промежутки времени. Если теперь мы возьмём очень малые промежутки времени в момент, когда планета находится в точках ${\displaystyle P}$ (перигелий) и ${\displaystyle A}$ (афелий), то мы сможем аппроксимировать площадь треугольниками с высотами, равными расстоянию от планеты до Солнца, и основанием, равным произведению скорости планеты на время.

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1-\varepsilon )a\cdot V_{A}\,dt={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1+\varepsilon )a\cdot V_{B}\,dt}$

${\displaystyle (1-\varepsilon )\cdot V_{A}=(1+\varepsilon )\cdot V_{B}}$

${\displaystyle V_{A}=V_{B}\cdot {\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}}$

Используя закон сохранения энергии для полной энергии планеты в точках ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, запишем

${\displaystyle {\frac {mV_{A}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{(1-\varepsilon )a}}={\frac {mV_{B}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{(1+\varepsilon )a}}}$

${\displaystyle {\frac {V_{A}^{2}}{2}}-{\frac {V_{B}^{2}}{2}}={\frac {GM}{(1-\varepsilon )a}}-{\frac {GM}{(1+\varepsilon )a}}}$

${\displaystyle {\frac {V_{A}^{2}-V_{B}^{2}}{2}}={\frac {GM}{a}}\cdot \left({\frac {1}{(1-\varepsilon )}}-{\frac {1}{(1+\varepsilon )}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {\left(V_{B}\cdot {\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}\right)^{2}-V_{B}^{2}}{2}}={\frac {GM}{a}}\cdot \left({\frac {1+\varepsilon -1+\varepsilon }{(1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}\right)}$

${\displaystyle V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}\right)^{2}-V_{B}^{2}={\frac {2GM}{a}}\cdot \left({\frac {2\varepsilon }{(1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}\right)}$

${\displaystyle V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {(1+\varepsilon )^{2}-(1-\varepsilon )^{2}}{(1-\varepsilon )^{2}}}\right)={\frac {4GM\varepsilon }{a\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}}$

${\displaystyle V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {1+2\varepsilon +\varepsilon ^{2}-1+2\varepsilon -\varepsilon ^{2}}{(1-\varepsilon )^{2}}}\right)={\frac {4GM\varepsilon }{a\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}}$

${\displaystyle V_{B}^{2}\cdot 4\varepsilon ={\frac {4GM\varepsilon \cdot (1-\varepsilon )^{2}}{a\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}}$

${\displaystyle V_{B}={\sqrt {\frac {GM\cdot (1-\varepsilon )}{a\cdot (1+\varepsilon )}}}.}$

Теперь, когда нашли ${\displaystyle V_{B}}$, мы можем найти секторную скорость. Так как она постоянна, то можем выбрать любую точку эллипса: например, для точки B получим

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={\frac {{\frac {1}{2}}\cdot (1+\epsilon )a\cdot V_{B}\,dt}{dt}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1+\epsilon )a\cdot V_{B}}$

${\displaystyle ={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1+\varepsilon )a\cdot {\sqrt {\frac {GM\cdot (1-\varepsilon )}{a\cdot (1+\varepsilon )}}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot {\sqrt {GMa\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}}$

Однако полная площадь эллипса равна ${\displaystyle \pi a{\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a}$ (что равно ${\displaystyle \pi ab}$, поскольку ${\displaystyle b={\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a}$). Время полного оборота, таким образом, равно

${\displaystyle T\cdot {\frac {dA}{dt}}=\pi a{\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a}$

${\displaystyle T\cdot {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot {\sqrt {GMa\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}=\pi {\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a^{2}}$

${\displaystyle T={\frac {2\pi {\sqrt {(1-\epsilon ^{2})}}a^{2}}{\sqrt {GMa\cdot (1-\epsilon )(1+\epsilon )}}}={\frac {2\pi a^{2}}{\sqrt {GMa}}}={\frac {2\pi }{\sqrt {GM}}}{\sqrt {a^{3}}}}$

${\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{GM}}a^{3}.}$

Заметим, что если масса ${\displaystyle m}$ не пренебрежимо мала по сравнению с ${\displaystyle M}$, то планета будет обращаться вокруг Солнца с той же скоростью и по той же орбите, что и материальная точка, обращающаяся вокруг массы ${\displaystyle M+m}$ (см. приведённая масса). При этом массу ${\displaystyle M}$ в последней формуле нужно заменить на ${\displaystyle M+m}$:

${\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3}.}$

Рассмотрим планету как точку массой ${\displaystyle m}$, вращающейся по эллиптической орбите, в двух положениях:

1. перигелий с радиус-вектором ${\displaystyle r_{1}=a-c}$, скоростью ${\displaystyle V_{1}}$;
2. афелий с радиус-вектором ${\displaystyle r_{2}=c+a}$, скоростью ${\displaystyle V_{2}}$.

Запишем закон сохранения момента импульса

${\displaystyle mV_{1}r_{1}=mV_{2}r_{2}}$

и закон сохранения энергии

${\displaystyle {\frac {mV_{1}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{r_{1}}}={\frac {mV_{2}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{r_{2}}}}$ ,

где M — масса Солнца.

Решая систему, нетрудно получить соотношение на скорость планеты в точке «перигелий»:

${\displaystyle V_{1}={\sqrt {2GM{\frac {r_{2}/r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}}}}$ .

Выразим секторную скорость (которая по второму закону Кеплера является постоянной величиной):

${\displaystyle V_{s}=1/2\cdot V_{1}r_{1}={\sqrt {GM{\frac {r_{2}r_{1}}{2(r_{1}+r_{2})}}}}}$ .

Вычислим площадь эллипса, по которому движется планета. С одной стороны:

${\displaystyle S_{ellipse}=\pi ab}$

где ${\displaystyle a}$ — длина большой полуоси, ${\displaystyle b}$ — длина малой полуоси орбиты.

С другой стороны, воспользовавшись тем, что для вычисления площади сектора можно перемножить секторную скорость на период оборота:

${\displaystyle S_{ellipse}=V_{s}\cdot T=T\cdot {\sqrt {\frac {GMr_{2}r_{1}}{2(r_{1}+r_{2})}}}}$ .

Следовательно,

${\displaystyle T\cdot {\sqrt {\frac {GMr_{2}r_{1}}{2(r_{1}+r_{2})}}}=\pi ab}$ .

Для дальнейших преобразований воспользуемся геометрическими свойствами эллипса. Имеем соотношения

${\displaystyle c^{2}=a^{2}-b^{2}}$

${\displaystyle r_{1}+r_{2}=2a}$

${\displaystyle r_{1}\cdot r_{2}=a^{2}-c^{2}=b^{2}}$

Подставим в формулу площади эллипса:

${\displaystyle T\cdot {\sqrt {GM{\frac {b^{2}}{4a}}}}=\pi ab}$

Откуда окончательно получим:

${\displaystyle {\frac {T}{a^{3/2}}}=const}$

или в традиционном виде

${\displaystyle {\frac {T^{2}}{a^{3}}}=const.}$

• Закон всемирного тяготения
• Задача Бертрана
• Задача двух тел
• Задача трёх тел

• Кеплера законы // Энциклопедический словарь юного астронома / сост. Н. П. Ерпылев. — 2-е изд. — М.: Педагогика, 1986. — С. 121—122. — 336 с.
• Смородинский Я. A. Планеты движутся по эллипсам // Квант. — 1979. — № 12. — С. 13—19.
• Трефил, Дж. Законы Кеплера : [арх. 28 марта 2016] // Элементы. — Из кн. Трефил Дж. Природа науки. 200 законов мироздания. (Geleos, 2007.) = The Nature of Science. (2003) = James Trefil. Cassel's Laws of Nature: An A–Z of Laws and Principles Governing the Workings of Our Universe. (2002).