Нерешённые проблемы математики: Может ли функция Эйлера составного числа ${\displaystyle n}$ делить ${\displaystyle n-1}$?

Задача Лемера о функции Эйлера задаёт вопрос, существует ли какое-либо составное число n, такое, что функция Эйлера φ(n) делит n − 1. Задача остаётся нерешённой.

Для любого простого числа n мы имеем ${\displaystyle \varphi (n)=n-1}$, так что ${\displaystyle \varphi (n)}$ делит ${\displaystyle n-1}$. Д. Г. Лемер в 1932 высказал гипотезу, что не существует составных чисел с таким свойством^[1].

• Лемер показал, что если какое-либо решение n существует, оно должно быть нечётным, свободным от квадратов числом, делящимся на не менее чем на семь различных простых чисел (т.е. ${\displaystyle \omega (n)\geqslant 7}$). Такое число должно быть также числом Кармайкла.
• В 1980 Коэн и Хагис доказали, что для любого решения n задачи, ${\displaystyle n>10^{20}}$ и ${\displaystyle \omega (n)\geqslant 14}$^[2].
• В 1988 Хагис показал, что если 3 делит любое решение n, то ${\displaystyle n>10^{1937042}}$ и ${\displaystyle \omega (n)\geqslant 298848}$^[3].
• Число решений задачи, меньших X, равно ${\displaystyle O\left({X^{1/2}(\log X)^{3/4}}\right)}$^[4].
• В 2017 китайский любитель Шень Лисин написал две программы на языке C и нашёл около 21568 чисел Кармайкла (максимальный простой делитель равен 241921) с ${\displaystyle \omega (n)=14}$ и 87 чисел Кармайкла с ${\displaystyle \omega (n)=15}$ меньших 10²⁶. Ни одно из них не является решением для проблемы. Согласно предыдущим результатам Ричарда Пинча Архивная копия от 21 апреля 2016 на Wayback Machine мы можем сказать, что ${\displaystyle n>10^{26}}$. На сайте он неверно поместил 21568 в столбец 10²⁷.

• Weisstein, Eric W. Lehmer's Totient Problem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.