Зада́ча Гурса́ — это разновидность краевой задачи для гиперболических уравнений и систем 2-го порядка с двумя независимыми переменными по данным на двух выходящих из одной точки характеристических кривых.

Задача названа в честь математика Э. Гурса. В его широко известном «Курсе математического анализа» этой задаче посвящён отдельный параграф^[1].

Пусть в области ${\displaystyle \Omega }$ задано гиперболическое уравнение ${\displaystyle u_{xy}=F(x,\,y,\,u,\,u_{x},\,u_{y})}$ и краевое условие. Задача: найти регулярное в области ${\displaystyle \Omega }$ и непрерывное в замыкании ${\displaystyle {\bar {\Omega }}}$ решение по краевому условию.

В «Математической энциклопедии»^[2] краевое условие формулируется следующим образом:

${\displaystyle u(0,\,t)=\varphi (t),\;u(t,\,1)=\psi (t),\;\varphi (1)=\psi (0)}$, где ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle \psi }$ — заданные непрерывно дифференцируемые функции.

В учебнике Тихонова, Самарского^[3] оно формулируется немного по-другому:

${\displaystyle u(x,\,0)=\varphi _{1}(x),\;u(0,\,y)=\varphi _{2}(y)}$, где ${\displaystyle \varphi _{1}}$ и ${\displaystyle \varphi _{2}}$ удовлетворяют условиям сопряжения и дифференцируемости.

Нетрудно видеть, что это задача с данными на характеристиках уравнения. Эта задача примечательна тем, что для задания решения достаточно только двух функций (ср. с начально-краевой задачей).

В «Курсе» Гурса говорится о более общем случае.

${\displaystyle u(x,\,\pi (x))=\varphi (x),\;u(\chi (y),\,y)=\psi (y)}$

Если функция ${\displaystyle F}$ непрерывна для всех ${\displaystyle (x,\,y)\in {\bar {\Omega }}}$ и для любых ${\displaystyle u,\;p=u_{x},\;q=u_{y}}$ допускает производные ${\displaystyle F_{u},\;F_{p},\;F_{q}}$, которые по абсолютной величине меньше некоторого числа, то в области ${\displaystyle {\bar {\Omega }}}$ существует единственное и устойчивое решение.

Рассматривается линейный случай. Исходное уравнение принимает вид ${\displaystyle Lu\equiv u_{xy}+au_{x}+bu_{y}+cu=f}$.

Вводится функция Римана ${\displaystyle R(x,\,y;\;\xi ,\,\eta )}$, которая однозначно определяется как решение уравнения

${\displaystyle R_{xy}-(aR)_{x}-(bR)_{y}+cR=0}$,

удовлетворяющее условиям

${\displaystyle R(\xi ,\,y;\;\xi ,\,\eta )=\exp \int \limits _{\eta }^{y}a(\xi ,\,t)dt}$

${\displaystyle R(x,\,\eta ;\;\xi ,\eta )=\exp \int \limits _{\xi }^{x}b(t,\,\eta )dt}$

где ${\displaystyle (\xi ,\,\eta )\in \Omega }$ — произвольная точка.

Решение задачи Гурса в линейном случае в «Энциклопедии» дается при ${\displaystyle \varphi =\psi \equiv 0}$

${\displaystyle u(x,\,y)=\int \limits _{0}^{x}d\xi \int \limits _{1}^{y}R(\xi ,\,\eta ;\;x,\,y)f(x,y)d\eta }$

Рассматривается два случая

1. ${\displaystyle F(x,\,y,\,u,\,u_{x},\,u_{y})=f(x,\,y)}$

Последовательно интегрируя исходное уравнение получаем аналитическую формулу

${\displaystyle u(x,\,y)=\varphi _{1}(x)+\varphi _{2}(y)-\varphi _{1}(0)+\int \limits _{0}^{y}\int \limits _{0}^{x}f(\xi ,\,\eta )d\xi d\eta }$

Из этой формулы следует существование и единственность решения данной задачи.

1. ${\displaystyle F(x,\,y,\,u,\,u_{x},\,u_{y})=au_{x}+bu_{y}+cu+f}$

Исходное уравнение преобразуется к интегро-дифференциальному уравнению

${\displaystyle u(x,\,y)=\int \limits _{0}^{y}\int \limits _{0}^{x}\left[au_{\xi }+bu_{\eta }+cu\right]d\xi d\eta +\varphi _{1}(x)+\varphi _{2}(y)-\varphi _{1}(0)+\int \limits _{0}^{y}\int \limits _{0}^{x}f(\xi ,\,\eta )d\xi d\eta }$

Это уравнение решается методом последовательных приближений. Нулевое приближение ${\displaystyle u_{0}(x,\,y)=0}$ подставляется в интегро-дифференциальное уравнение. Результат принимается в качестве первого приближения, которое в свою очередь подставляется в интегро-дифференциальное уравнение и т. д. Таким образом получается бесконечная последовательность ${\displaystyle \left\{u_{n}(x,\,y)\right\}}$. Далее доказывается сходимость данной последовательности и находится её предел ${\displaystyle u(x,\,y)=\lim _{n\to \infty }u_{n}(x,\,y)}$. Этот предел и есть решение задачи.

Для улучшения этой статьи желательно: Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. Оформить список литературы. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.