Клара Деннис родилась в 1916 году в пригороде Сиднея в семье констебля Алека Денниса[4]. В 7-летнем возрасте она со старшей сестрой Торой начала плавать за клуб Sydney Ladies' Swimming Club[5]. Тору выбрали для участия в летних Олимпийских играх 1928 года, однако позднее исключили из команды по причине юного возраста[4]. В 1931 году Клэр впервые победила на австралийских соревнованиях[4].
На летних Олимпийских играх 1932 года Клэр Деннис победила на дистанции 200 м брассом. Её едва не дисквалифицировали из-за слишком открытого купальника[4]. Она была самой молодой пловчихой на соревнованиях[5]. С 1912 по 1956 года она оставалась единственной олимпийской чемпионкой по плаванию от Австралии[3]. На Играх Содружества 1934 года она заняла первое место на дистанции 200 ярдов брассом, став первой австралийкой-чемпионкой Игр[4][5]. За свою спортивную карьеру Деннис установила мировые рекорды в плавании 100 и 200 м брассом[3][4].