PROFILPELAJAR.COM

Групповой завистливый делёж^[1] (известный также как коалиационно справедливый^[2] делёж) — это делёж ресурсов среди нескольких участников дележа таким образом, что любая группа участников считает свою долю не меньшей, чем у любой другой группы того же размера. Термин обычно используется в задачах справедливого дележа, таких как распределение ресурсов и справедливое разрезание торта.

Отсутствие зависти при групповом дележе является очень сильным требованием справедливости — распределение без групповой зависти эффективно по Парето, и в нём отсутствует зависть (в обычном смысле), но обратное не верно.

Определения

Рассмотрим множество из n участников. Каждый агент i получает определённое распределение A_i (например, кусок торта или комплект ресурсов). Каждый агент i имеет некоторые субъективные предпочтения <_i относительно кусков/комплектов (то есть, $A<_{i}B$ означает, что агент i предпочитает кусок B куску A).

Рассмотрим группу агентов X при текущем распределении $\{A_{i}\}_{i\in X}$ . Мы говорим, что группа X предпочитает кусок B по отношению к текущему распределению, если существует распределение куска B среди участников группы X: $\{B_{i}\}_{i\in X}$ , такое, что по меньшей мере один агент i считает, что новое распределение лучше по сравнению с текущим распределением ( $A_{i}<_{i}B_{i}$ ), и никто из оставшихся участников группы не считает, что оно хуже.

Рассмотрим две группы, X и Y, обе с одним и тем же числом — k — участников. Говорим, что группа X завидует группе Y, если группа X предпочитает общий кусок группы Y ( $\cup _{i\in Y}{A_{i}}$ ) своему куску.

Распределение {A₁, ..., A_n} называется распределением без групповой зависти, если не имеется группы, завидующей другой группе с тем же числом участников.

Связь с другими критериями

В распределении с отсутствием групповой зависти отсутствует также зависть в обычном смысле, поскольку группы X и Y могут содержать по одному агенту.

Распределение с отсутствием групповой зависти эффективно также по Парето, поскольку X и Y могут быть всей группой, содержащей n участников.

Условие отсутствия групповой зависти много строже, чем комбинация этих двух критериев, поскольку она применяется также к группам из 2, 3, ..., n-1 участников.

Существование

В условиях распределения ресурсов распределение с отсутствием групповой зависти существует. Более того, оно может быть получено как равновесие в условиях конкуренции^[англ.] с одинаковыми начальными фондами^[3]^[4]^[2].

В условиях справедливого разрезания торта разрезание с отсутствием групповой зависти существует, если отношения предпочтения представлены положительными непрерывными мерами. То есть, каждый участник i имеет определённую функцию V_i, представляющую ценность каждого куска торта, и такие функции аддитивны и не атомарны^[1].

Более того, распределение при групповом завистливом дележе существует, если предпочтения представлены конечными векторными мерами^[англ.]. То есть, каждый агент i имеет некоторую векторную функцию V_i, представляющую значения различных свойств каждого куска торта, и все компоненты в такой векторной функции аддитивны и не атомарны, а кроме того, отношения предпочтения непрерывны, монотонны и выпуклы^[5].

Примечания

↑ ¹ ² Berliant, Thomson, Dunz, 1992, с. 201.
↑ ¹ ² Varian, 1974, с. 63–91.
↑ Vind, 1971.
↑ Schmeidler, Vind, 1972, с. 637.
↑ Husseinov, 2011, с. 54–59.

Литература

Berliant M., Thomson W., Dunz K. On the fair division of a heterogeneous commodity // Journal of Mathematical Economics. — 1992. — Т. 21, вып. 3. — С. 201. — doi:10.1016/0304-4068(92)90001-n.
Varian H. R. Equity, envy, and efficiency // Journal of Economic Theory. — 1974. — Т. 9. — С. 63–91. — doi:10.1016/0022-0531(74)90075-1.
Vind K. Lecture notes for Economics. — Stanford University, 1971.
Schmeidler D., Vind K. Fair Net Trades // Econometrica. — 1972. — Т. 40, вып. 4. — doi:10.2307/1912958. — JSTOR 1912958.
Husseinov F. A theory of a heterogeneous divisible commodity exchange economy // Journal of Mathematical Economics. — 2011. — Т. 47. — doi:10.1016/j.jmateco.2010.12.001.