Группа вращений

Группа вращений (группа поворотов) в механике и геометрии — набор всех вращений вокруг начала координат в трёхмерном евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{3}$ . По определению, вращение вокруг начала координат — линейное преобразование, которое сохраняет длину векторов, а также сохраняет ориентацию (правую и левую тройку векторов). Группа вращений изоморфна группе вещественных ортогональных матриц $3\times 3$ с определителем 1 (называемой специальной ортогональной группой размерности 3 — $\mathrm {SO} (3)$ ).

Свойства

Все группы вращений $\mathrm {SO} (n)$ , в том числе $\mathrm {SO} (3)$ и $\mathrm {SO} (2)$ , являются группами Ли.
Группы вращений $\mathrm {SO} (3)$ и вообще $\mathrm {SO} (n)$ при $n>2$ некоммутативны.
Группа $\mathrm {SO} (3)$ диффеоморфна проективному пространству размерности 3. По теореме вращения Эйлера любое вращение можно задать прямой (осью вращения, заданной единичным вектором $v$ ), проходящей через центр координат, и углом $\varphi \in [-\pi ,\pi ]$ . Можно было бы сопоставить каждому вращению вектор $\varphi v$ и тем самым отождествить элементы группы вращения с точками шара радиуса $\pi$ . Однако, такое сопоставление не было бы биективным, так как углам $\pi$ и $-\pi$ соответствует одно и то же вращение. Поэтому, отождествив диаметрально противоположные точки на границе шара, получим проективное пространство.
Универсальная накрывающая группы $\mathrm {SO} (3)$ является специальной унитарной группой $\mathrm {SU} (2)$ , или, что то же самое, группой единичных по модулю кватернионов (действующих на касательном пространстве к единичной сфере сопряжениями). При этом накрытие двулистно.

Вариации и обобщения

Иногда группами вращений называют специальную ортогональную группу $\mathrm {SO} (n)$ — группу вращения $n$ -мерного евклидова пространства. Особым случай является группа вращений плоскости $\mathrm {SO} (2)$ или U(1); в отличие от случая вращения трёхмерного пространства, она является коммутативной.

См. также

Литература

Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
Богопольский О. В. Введение в теорию групп. — М.: Москва-Ижевск: ИКИ, 2002. — 148 с. — ISBN 5-93972-165-6.

Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её.

Read other articles:

Josephine Crowell

Josephine CrowellCrowell pada 1914Lahir(1859-01-11)11 Januari 1859Nova Scotia, Amerika Utara BritaniaMeninggal27 Juli 1932(1932-07-27) (umur 73)Amityville, New York, Amerika SerikatPekerjaanPemeranTahun aktif1912–1929Suami/istriEmile La Croix Josephine Boneparte Crowell (11 Januari 1859 – 27 Juli 1932) adalah seorang pemeran film Kanada pada era film bisu. Ia tampil dalam 94 film antara 1912 dan 1929. Sebagian filmografi The Mothering Heart (1913, Pendek) Home, Sw...

Daftar Duta Besar Amerika Serikat untuk Kroasia

Duta Besar Amerika Serikat untuk KroasiaSegel Kementerian Dalam Negeri Amerika SerikatDicalonkan olehPresiden Amerika SerikatDitunjuk olehPresidendengan nasehat Senat Berikut ini adalah daftar Duta Besar Amerika Serikat untuk Kroasia Daftar Potret Nama Diangkat oleh Peter W. Galbraith Bill Clinton William Dale Montgomery Lawrence G. Rossin Ralph Frank George W. Bush Robert Bradtke James B. Foley Barack Obama Kenneth H. Merten Julieta Valls Noyes[1] Robert Kohorst Donald Trump Referens...

Rakuten Kitazawa

Rakuten KitazawaNaissance 20 juillet 1876Ōmiya-kuDécès 25 août 1955 (à 79 ans)Nom dans la langue maternelle 北澤楽Nationalité japonaiseActivités Mangaka, peintreDistinction Ordre national de la Légion d'honneurmodifier - modifier le code - modifier Wikidata Yasuji Kitazawa (北澤保次, Kitazawa Yasuji?), né le 20 juillet 1876 et mort le 25 août 1955, plus connu sous son nom d'artiste Rakuten Kitazawa (北澤楽天, Kitazawa Rakuten?), est un mangaka et peintre japonais d...

Armaan (film 2003)

ArmaanPoster film untuk ArmaanSutradaraHoney IraniProduserDinesh GandhiDitulis olehJaved AkhtarHoney IraniPemeranAmitabh BachchanAnil KapoorPreity ZintaGracy SinghRandhir KapoorPenata musikLagu:Shankar-Ehsaan-LoySkor Latar Belakang:Raju SinghSinematograferRavi VarmanPenyuntingShirish KunderDistributorAarti EnterprisesEros EntertainmentTanggal rilis16 Mei 2003Durasi159 menitNegaraIndiaBahasaHindi Armaan (Inggris: Desire) adalah sebuah film Bollywood Hindi yang dibintangi oleh Amitabh Bac...

The Soul (film 2003)

The Soul: Never Forget The PastSutradaraNayato Fio NualaProduserChand Parwez ServiaShankar RSDitulis olehEry SofidPemeranMarcella ZaliantyNatasya Septiani IrawanIqbal PakulaAnanda GeorgeDavid ReneRenny UmariDikdhikLenda Vito OriginPenata musikRegina LAMSinematograferNayato Fio NualaDharma YouPenyuntingDwi IlalangPerusahaanproduksiStarvisionDistributorStarvisionTanggal rilis2003Durasi96 menitNegara Indonesia The Soul adalah film drama horror Indonesia yang dirilis pada tahun 2003. F...

Rick Mount

American basketball player (born 1947) This biography of a living person needs additional citations for verification. Please help by adding reliable sources. Contentious material about living persons that is unsourced or poorly sourced must be removed immediately from the article and its talk page, especially if potentially libelous.Find sources: Rick Mount – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (July 2023) (Learn how and when to remove this tem...

Piątkowo, Poznań

Neighbourhood of Poznań, Poland The osiedle of Piątkowo within Poznań View of Piątkowo from Góra Moraska Television tower Piątkowo [pjɔntˈkɔvɔ] is a part of the city of Poznań in western Poland. It consists mainly of large estates of blocks of flats, built from the late 1970s onwards. Piątkowo is situated in the northern part of the city, north of Winogrady (an area of similar character), and south of the less intensively developed neighbourhood of Morasko. Piątkowo is the name g...

RCTI Network Jawa Barat

RCTI Network Jawa BaratPT RCTI SatuBandung, Jawa BaratIndonesiaSaluranDigital: 41 UHF (DVB-T2)Virtual: 28SloganKebanggaan Bersama Milik BangsaRCTI Oke (tagline)PemrogramanBahasaBahasa IndonesiaAfiliasiRCTIKepemilikanPemilikMedia Nusantara CitraStasiun seinduk MNCTV Jawa Barat (2006-sekarang) GTV Bandung (2006-sekarang) iNews Bandung (2008-sekarang)Sebelumnya: SCTV Surabaya (1991-1993) SCTV Denpasar (1991-1993) RiwayatSiaran perdana1 Mei 1991 (1991-05-01) (sebagai RCTI Bandung)24 Agustus ...

Cula Naga of Anuradhapura

King of Anuradhapura from 193 to 195 Cula NagaKing of AnuradhapuraReign193 – 195PredecessorKanittha TissaSuccessorKuda NagaDynastyHouse of Lambakanna IFatherKanittha Tissa Cula Naga, or Khujjanaga, also known as Kuhun Na, was King of Anuradhapura in the second century and the successor of Kanittha Tissa. He reigned from 193—195,[1] ruling for only two years until he was overthrown and assassinated by his brother, Kudda Naga. See also List of Sri Lankan monarchs History of Sri Lank...

Мазуровка (Тульчинский район)

У этого термина существуют и другие значения, см. Мазуровка. СелоМазуровкаукр. Мазурівка 48°39′25″ с. ш. 28°48′51″ в. д.HGЯO Страна Украина Область Винницкая Район Тульчинский История и география Основан 1959 Площадь 1,989 км² Высота центра 269 м Часовой пояс UTC+2:00, лето�...

世界政區索引

此條目可能包含不适用或被曲解的引用资料，部分内容的准确性无法被证實。 (2023年1月5日)请协助校核其中的错误以改善这篇条目。详情请参见条目的讨论页。各国相关主題列表索引国内生产总值石油储量国防预算武装部队（军事）官方语言人口統計人口密度生育率出生率死亡率自杀率谋杀率失业率储蓄率识字率出口额进口额煤产量发电量监禁率死刑国债 ...

Truncated octahedron

Archimedean solid Truncated octahedron (Click here for rotating model) Type Archimedean solidUniform polyhedron Elements F = 14, E = 36, V = 24 (χ = 2) Faces by sides 6{4}+8{6} Conway notation tObT Schläfli symbols t{3,4}tr{3,3} or t { 3 3 } {\displaystyle t{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}} t0,1{3,4} or t0,1,2{3,3} Wythoff symbol 2 4 | 33 3 2 | Coxeter diagram Symmetry group Oh, B3, [4,3], (*432), order 48Th, [3,3] and (*332), order 24 Rotation group O, [4,3]+, (432), order 24 D...

Laws of thermodynamics

Observational basis of thermodynamics ThermodynamicsThe classical Carnot heat engine Branches Classical Statistical Chemical Quantum thermodynamics Equilibrium / Non-equilibrium Laws Zeroth First Second Third Systems Closed system Open system Isolated system State Equation of state Ideal gas Real gas State of matter Phase (matter) Equilibrium Control volume Instruments Processes Isobaric Isochoric Isothermal Adiabatic Isentropic Isenthalpic Quasistatic Polytropic Free expansion Rever...

Timeline of international trade

Part of a series onWorld trade Policy Import Export Balance of trade Trade law Trade pact Trade bloc Trade creation Trade diversion Export orientation Import substitution Trade finance Trade facilitation Trade route Domestic trade Tax Restrictions Trade barriers Tariffs Non-tariff barriers Import quotas Tariff-rate quotas Import licenses Customs duties Export subsidies Technical barriers Bribery Exchange rate controls Embargo Safeguards Countervailing duties Anti-dumping duties Voluntary exp...

Eastern Australian sawshark

Species of shark Eastern Australian sawshark Conservation status Near Threatened (IUCN 3.1) Scientific classification Domain: Eukaryota Kingdom: Animalia Phylum: Chordata Class: Chondrichthyes Subclass: Elasmobranchii Subdivision: Selachimorpha Order: Pristiophoriformes Family: Pristiophoridae Genus: Pristiophorus Species: P. peroniensis Binomial name Pristiophorus peroniensisYearsley, Last & White, 2008 Range of Eastern Australian sawshark Sharks portal The Eastern Australian ...

معرض الترفيه الإلكتروني 2017

معرض الترفيه الإلكتروني 2017معلومات عامةالاسم الأصلي Electronic Entertainment Expo 2017النوع متعدد الاغراضتاريخ البداية 13 يونيو 2017تاريخ الانتهاء 15 يونيو 2017المبنى مركز مؤتمرات لوس أنجلوسالمكان لوس انجليسالبلد الولايات المتحدةالقادم معرض الترفيه الإلكتروني 2018 السابق معرض الترفيه ال�...

Baek Jong-won's Top 3 Chef King

2015 South Korean television program Baek Jong-won's Top 3 Chef KingThe Nations' Big Three format's imageAlso known asThe Nations' Big Three, Paik Jong-won's Three Great Emperors, Paik Jong-won's 3 Great Kings, Paik Jong-won's Top 3 Chef KingGenreVarietyCookingDirected byKim Joon-sooLee Gwan-wonJung Woo-jinPresented byPaik Jong-wonKim Jun-hyunLee Hwi-jaeCountry of originSouth KoreaOriginal languageKoreanNo. of episodes94 (list of episodes)ProductionProduction locationSouth KoreaRunning time80...

Plate girder bridge

Type of bridge Plate Girder BridgeWooden deck typeAncestorBeam bridgeRelatedTrestle bridge, truss bridge, moon bridgeDescendantLeaf bascule, Tubular bridgeCarriesPedestrians, automobiles, trucks, light rail, heavy railSpan rangeShortMaterialIron, steelMovableNoDesign effortlowFalsework requiredNo A plate girder bridge is a bridge supported by two or more plate girders.[1] Overview In a plate girder bridge, the plate girders are typically I-beams made up from separate structural steel ...

Pollock roe

Eggs of the pollock fish Alaska pollock roeAlaska pollack's liver (top, center), roe (left), and milt (bottom)Korean nameHangul명란Hanja明卵Literal meaningAlaska pollock roeTranscriptionsRevised RomanizationmyeongnanMcCune–ReischauermyŏngnanJapanese nameKanji鱈子KanaたらこTranscriptionsRevised HepburntarakoRussian nameRussianикра минтаяRomanizationikra mintaya Pollock roe, also pollack roe (also known as myeongnan and tarako) is the roe of Alaska pollock (Gadus chalcogra...

Qatayef

QatayefJenisKueTempat asalSyam, Timur TengahDaerahMesir, Irak, Yordania, Lebanon, Palestina, Arab Saudi dan SuriahBahan utamakeju, atau campuran kacang hazel, kacang kenari, almond, pistachio, kismis, gula bubuk, ekstrak vanila dan kulit kayu manisSunting kotak info • L • BBantuan penggunaan templat ini Media: Qatayef Qatayef atau Katayef (bahasa Arab: قطايف, [qā'ṭā:īf] Berkas audio Qatayef ar.ogg tidak ditemukan) adalah sebuah hidangan penutup Ar...

/profillengkap.com/index.php/article/Keesean Ferdinand

Benua Anyar, Cintapuri Darussalam, Banjar

List of the oldest currently registered Internet domain names

Géographie de la Belgique

Template talk:Local Government Association of England and Wales