Геодезическая кривизна ${\displaystyle k_{g}}$ кривой ${\displaystyle \gamma }$ в римановой геометрии измеряет, насколько сильно кривая отличается от геодезической. Например, для 1D кривой на 2D поверхности, вложенной в 3D пространство, это кривизна кривой, спроецированной на плоскость, касательную к поверхности. Более общо, в заданном многообразии ${\displaystyle {\bar {M}}}$ геодезическая кривизна ― это обычная кривизна кривой ${\displaystyle \gamma }$ (см. ниже). Однако если кривая ${\displaystyle \gamma }$ лежит в подмногообразии ${\displaystyle M}$ многообразия ${\displaystyle {\bar {M}}}$ (например, для кривизны поверхности), геодезическая кривизна относится к кривизне ${\displaystyle \gamma }$ в ${\displaystyle M}$, и она отличается в общем виде от кривизны ${\displaystyle \gamma }$ в объемлющем многообразии ${\displaystyle {\bar {M}}}$. (Объемлющая) кривизна ${\displaystyle k}$ кривой ${\displaystyle \gamma }$ зависит от двух факторов ― кривизны подмногообразия ${\displaystyle M}$ в направлении ${\displaystyle \gamma }$ (нормальная кривизна ${\displaystyle k_{n}}$), которая зависит только от направления кривой и кривизны ${\displaystyle \gamma }$ в многообразии ${\displaystyle M}$ (геодезическая кривизна ${\displaystyle k_{g}}$), которая является величиной второго порядка. Связь между ними ― ${\displaystyle k={\sqrt {k_{g}^{2}+k_{n}^{2}}}}$. В частности, геодезические на ${\displaystyle M}$ имеют нулевую геодезическую кривизну («прямые»), так что ${\displaystyle k=k_{n}}$.

Рассмотрим кривую ${\displaystyle \gamma }$ на многообразии ${\displaystyle {\bar {M}}}$, параметризованную длиной кривой, с единичным касательным вектором ${\displaystyle T=d\gamma /ds}$. Её кривизна равна норме ковариантной производной вектора ${\displaystyle T}$: ${\displaystyle k=\|DT/ds\|}$. Если ${\displaystyle \gamma }$ лежит на ${\displaystyle M}$, геодезическая кривизна равна норме проекции ковариантной производной ${\displaystyle DT/ds}$ на касательное пространство подмногообразия. Напротив, нормальная кривизна равна норме проекции ${\displaystyle DT/ds}$ на нормальное расслоение подмногообразия в рассматриваемой точке.

Если объемлющее многообразие является евклидовым пространством ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, то ковариантная производная ${\displaystyle DT/ds}$ равна обычной производной ${\displaystyle dT/ds}$.

Пусть ${\displaystyle M}$ будет единичной сферой ${\displaystyle S^{2}}$ в трёхмерном евклидовом пространстве. Нормальная кривизна сферы ${\displaystyle S^{2}}$ равна 1, независимо от рассматриваемого направления. Большие круги имеют кривизну ${\displaystyle k=1}$, так что они имеют нулевую геодезическую кривизну, а потому являются геодезическими. Меньшие круги радиуса ${\displaystyle r}$ будут иметь кривизну ${\displaystyle 1/r}$ и геодезическую кривизну ${\displaystyle k_{g}={\frac {\sqrt {1-r^{2}}}{r^{2}}}}$.

• Геодезическая кривизна ― это не что иное, как обычная кривизна, вычисленная в подмногообразии ${\displaystyle M}$. Она не зависит от способа размещения подмногообразия ${\displaystyle M}$ в ${\displaystyle {\bar {M}}}$.
• Геодезическая на ${\displaystyle M}$ имеет нулевую геодезическую кривизну, что эквивалентно высказыванию, что ${\displaystyle DT/ds}$ ортогонален касательному пространству к ${\displaystyle M}$.
• С другой стороны, нормальная кривизна строго зависит от того, как подмногообразие расположено в объемлющем пространстве, но мало от кривой ― ${\displaystyle k_{n}}$ зависит только от точки на многообразии и направления ${\displaystyle T}$, но не от ${\displaystyle DT/ds}$.
• В общей римановой геометрии производная вычисляется с помощью связности Леви-Чивиты ${\displaystyle {\bar {\nabla }}}$ объемлющего многообразия: ${\displaystyle DT/ds={\bar {\nabla }}_{T}T}$. Она распадается на касательную часть и нормальную часть для подмногообразия ― ${\displaystyle {\bar {\nabla }}_{T}T=\nabla _{T}T+({\bar {\nabla }}_{T}T)^{\perp }}$. Касательная часть является обычной производной ${\displaystyle \nabla _{T}T}$ в ${\displaystyle M}$ (это частный случай уравнения Гаусса для Уравнения Петерсона ― Кодацци), в то время как нормальная часть равна ${\displaystyle \mathrm {I\!I} (T,T)}$, где ${\displaystyle \mathrm {I\!I} }$ означает вторую квадратичную форму.
• Формула Гаусса — Бонне.

• Кривизна
• Поверхность Дарбу
• Уравнения Петерсона ― Кодацци

• Manfredo P. do Carmo. Differential Geometry of Curves and Surfaces. — Prentice-Hall, 1976. — ISBN 0-13-212589-7.
• Heinrich Guggenheimer. Surfaces // Differential Geometry. — Dover, 1977. — ISBN 0-486-63433-7.
• Yu.S. Slobodyan. Geodesic curvature // Encyclopedia of Mathematics. — EMS Press, 2001.

• Weisstein, Eric W. Geodesic curvature (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.