Родители: Како Георгиевич и Галина Владимировна. Отец по национальности грузин, родом из Марнеули, Грузия; работал на строительстве БАМа, после армии переехал в Челябинск. Мать по национальности русская. Есть 2 сестры и брат.
Карьера
Клубная
Воспитанник и бывший игрок челябинского «Трактора» (1999—2000 — 2 команда, 2000—2002 и 2006—2008). Однако долгое время не мог пробиться в основной состав команды и уехал в «Казахмыс» к челябинскому тренеру Анатолию Картаеву. Стал там основным голкипером команды. Руководители федерации хоккея Казахстана предлагали Гелашвили принять гражданство этой страны и выступать за сборную, но он отказался. В 2006 году после выхода «Трактора» в Суперлигу Георгию предложили вернуться в Челябинск, однако «Казахмыс» не хотел расставаться с голкипером, что привело к судебному разбирательству, которое завершилось в пользу «Трактора».
С 2008 по 2010 год являлся игроком команды «Локомотив» Ярославль в КХЛ. Игровой номер — 20. В первой игре сезона 2008/2009 на «Кубок Открытия» ворота защищал Сергей Звягин, однако из-за грубых ошибок в следующей игре вышел Георгий. Он дебютировал в составе «Локомотива» в КХЛ в матче против своей родной команды «Трактор» и одержал победу, после чего стал основным голкипером команды. По итогам сезона 2008/2009 признан лучшим голкипером КХЛ, а также стал обладателем приза «Золотой шлем».
