Родилась в Москве в семье служащих. Во время Великой Отечественной войны из Москвы не выезжала, работала швеёй-мотористкой на фабрике по пошиву военного обмундирования, продолжая учёбу в Школе рабочей молодёжи и одновременно занимаясь в театральной студии.
Не было артиста, кто бы ее не знал. Более того, ради нее отменяли съемки, сдвигали графики, переносили премьеры. А все почему? Потому, что эта Лия, не обладая средством Макропулоса, продлевала артистам молодость. Вот, скажем, Олег Табаков — в свои 40 он сыграл 12-летнего мальчишку в «Дикой собаке Динго». Рядом с ним у микрофона работали тоже «мальчишка» и «девчонка» — Олег Ефремов и Ия Саввина. А великая Мария Бабанова? Ей было немало лет, когда она за кадром играла 18-летнюю девушку.
44 года на Всесоюзном радио в редакции для детей и юношества. И более ста работ, которые вошли в золотой фонд радио. Можно сказать, что в эфире она дала вторую жизнь русской классике.
С момента открытия в 1983 году уникального Музея одной картины в г. Пензе и до 1994 года Лия Веледницкая была режиссёром всех литературно-музыкальных композиций, сопровождающих показ картин. В музее выставлялись известные картины, привозимые из лучших музеев страны. Перед демонстрацией картины зрителям показывали слайд-фильм о художнике и его творчестве, по сценарию московского писателя-искусствоведа В. И. Порудоминского. Текст читали ведущие актёры столичных театров: М. Ульянов, О. Ефремов, О. Табаков, Р. Плятт и др.
Лия Веледницкая работала во Всесоюзном радио до выхода на пенсию. Ушла на пенсию в должности режиссёра высшей категории в 1989 году, продолжив работу в качестве внештатного режиссёра.
В начале 90-х годов Главная редакция программ для детей и молодежи прекратила своё существование. Однако, жанр радиотеатра не был забыт, и уже в 1992-м году радиорежиссёр Виктор Трухан создает в Москве компанию «Vox Records».
На этой студии под режиссурой Лии Веледницкой вышли такие аудиопостановки, как «Без вины виноватые», «Хорошее общество» А. И. Куприна, «Гога Веселов», «Бобыль» Д. В. Григоровича, «Трое мужчин и одна женщина» по повести А.Аверченко, и другие.
— Веледницкая — это уникум, а то, что сейчас радиотеатра практически нет, — это колоссальная потеря. И для радио, и для искусства.
