Бодоньи начинал карьеру в «Дебрецене», за который отыграл два сезона[1].
В 1976 году перешёл в «Гонвед», в составе которого выиграл четыре чемпионских титула, а также Кубок Венгрии 1985 года. Всего Бодоньи сыграл за «Гонвед» 280 матчей и забил 78 голов[1]. Покинув «Гонвед», Бодоньи в течение нескольких месяцев играл за «Дебрецен», в который он вернулся спустя 11 лет.
Бодоньи продолжил карьеру в Швейцарии, где играл за «Бюль» и «Фрибур», а завершил игровую карьеру в «Бюле»[1].
Карьера в сборной
Бодоньи был в заявке сборной Венгрии на чемпионате мира 1982 года, но на турнире был запасным и не сыграл ни минуты[1]. Всего за сборную Венгрии сыграл 27 матчей и забил 5 мячей.
Карьера тренера
Работал в нескольких швейцарских клубах играющим тренером, а с 2011 по 2012 год работал главным тренером клуба «Бюль». Завершил карьеру по состоянию здоровья и стал работать в области торговли[1].
