Научилась играть в шахматы в 11 лет в Челябинске. До этого занималась разными видами спорта: волейболом и легкой атлетикой[3].
Когда ей было лет 14—15, она с сестрой Таисией попала в сборную РСФСР. В 1957 году команда РСФСР заняла первое место в соревнованиях между республиками СССР. Особенно активно играла в студенческие годы, во время учёбы в Челябинском политехническом институте: ежегодные первенства общества «Буревестник», личные и командные чемпионаты России, межвузовские встречи, полуфиналы СССР. На пятом курсе впервые попала в женский чемпионат СССР.
Получив диплом радиоинженера, работала на «почтовом ящике» в Челябинске, а потом переехала в Москву, где поступила на работу инженером в вычислительный центр Военно-инженерной академии имени Куйбышева, а также стала армейской шахматисткой. После замужества и рождения ребёнка перешла на чисто шахматную работу.
С 1970 года работала в Центральном шахматном клубе Вооружённых Сил СССР.
В 1976 году начала работать в Центральном шахматном клубе. Р. И. Билунову направили на создание картотеки шахматной информации.
В 1980 году её включили в состав советской делегации, направлявшейся на Олимпиаду на Мальте. В 1983—1988 годах Р. И. Билунова работала старшим тренером женской сборной СССР.
Выйдя на пенсию, вела активную работу в Комиссии ветеранов Российской шахматной федерации в должности заместитель председателя комиссии ветеранов РШФ, успешно выступала в официальных чемпионатах среди ветеранов[4][нет в источнике].
5—14 октября 2010 года участвовала в Чемпионате России по классическим шахматам среди ветеранов и заняла 5-е место[5].
2—12 октября 2012 года участвовала в Чемпионате России по классическим шахматам среди ветеранов и заняла 7-е место[8].
Римма Иванова Билунова умерла утром 21 декабря2015 года в городе Москве[9]. Прощание было 23 декабря в морге больницы № 5, по адресу: ул. Стромынка, 7[10]. Похоронена <где?>.
Сестра — Таисия Ивановна (в замужестве Тимофеева; род. 8 февраля 1939, дер. Алкаладка, ныне терр. Рассказовского района Тамбовской области), кандидат экономических наук (1976).
Сын — Денис (род. 3 мая 1969), окончил исторический факультет МГУ (1993), работал в туристическом бизнесе, политик-оппозиционер, активист движения «Солидарность», сподвижник Гарри Каспарова[13].